Είσαι σκέτο παρακράτος…

5.3 Πολυπλοκότητα αλγορίθμων

ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΣΥΝΤΑΚΤΗ

Ο απλούστερος τρόπος μέτρησης της επίδοσης ενός αλγορίθμου είναι ο εμπειρικός (empirical) ή αλλιώς ο λεγόμενος εκ των υστέρων (a posteriori).

Γράφει ο ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΔΕΡΓΙΑΔΕΣ

Δηλαδή, ο αλγόριθμος υλοποιείται και εφαρμόζεται σε ένα σύνολο δεδομένων, ώστε να υπολογισθεί ο απαιτούμενος χρόνος επεξεργασίας (proces sing time) και η χωρητικότητα μνήμης (memory space).

"…και προβοκατόρισσα, γι' αυτό σε χώρισα", ω εταιρεία υποκλοπών και παρακολουθήσεως.

Ο τρόπος όμως αυτός παρουσιάζει δύο κύρια μειονεκτήματα.

"Ο Κρόνος τρώει τα παιδιά του", σχολίασε χθες ένα από τα μέλη της Αντιεξουσιαστικής Κίνησης Θεσσαλονίκης που έγινε στόχος των "περιποιήσεων" της εταιρείας και των εντολέων της, δηλαδή του διεθνούς παρακράτους που κυβερνά τον πλανήτη.

- με τη μέθοδο αυτή είναι δύσκολο να προβλεφθεί η συμπεριφορά του αλγορίθμου για κάποιο άλλο σύνολο δεδομένων.

Ποιος Κρόνος;

- ο χρόνος επεξεργασίας εξαρτάται από το υλικό, τη γλώσσα προγραμματισμού και το μεταφραστή και προ πάντων από τη δεινότητα του προγραμματιστή.

Εδώ ούτε ο Κρόνεμπεργκ θα μπορούσε να σκηνοθετήσει αυτόν τον κλαυσίγελο - φιάσκο παραεπιστημονικής αστυνομικής φαντασίας. Έτσι μπορεί να συναχθούν λανθασμένες εκτιμήσεις για την επίδοση του αλγορίθμου. Σουρωτηροκαβουρντιστήρι η Ελλάς.

Ο δεύτερος τρόπος εκτίμησης της επίδοσης ενός αλγορίθμου είναι ο θεωρητικός (theoretical) ή αλλιώς ο λεγόμενος εκ των προτέρων (a priori).

Μπάτε σκύλοι αλέστε, όλα τα άπλυτα και τα πλυμένα της χώρας στο διεθνή περίγελο.

Για το σκοπό αυτό εισάγεται μία μεταβλητή n, που εκφράζει το μέγεθος (size) του προβλήματος, ώστε η μέτρηση της αποδοτικότητας του αλγόριθμου να ισχύει για οποιοδήποτε σύνολο δεδομένων και ανεξάρτητα από υποκειμενικούς παράγοντες, όπως αυτοί που αναφέρθηκαν.

Πρακτορίσκοι, μπανιστιρτζήδες - ωτακουστές τρίβουν τα χέρια τους και ξεκαρδίζονται στα γέλια με όσα έχουν καταγραφεί.

Η σημασία της μεταβλητής αυτής εξαρτάται από το πρόβλημα, που πρόκειται να επιλυθεί.

Η κυβέρνηση το χαβά της.

Για παράδειγμα, αν το πρόβλημα είναι η ταξινόμηση k στοιχείων τότε n=k.

Κάναμε ό,τι καλύτερο.

Στη συνέχεια ο χρόνος επεξεργασίας και ο απαιτούμενος χώρος μνήμης εκτιμώνται με τη βοήθεια μίας συνάρτησης f(n) που εκφράζει τη χρονική πολυπλοκότητα (time complexity) ή την πολυπλοκότητα χώρου (space complexity).

Τι κάνει νιάου νιάου στα κεραμίδια, κύριοι της κυβέρνησης, που κόπτεστε υπέρ της διαφάνειας;

Σε πολλές περιπτώσεις όμως δεν ενδιαφέρουν οι επακριβείς τιμές αλλά μόνο η γενική συμπεριφορά των αλγορίθμων, δηλαδή η τάξη του αλγορίθμου.

Το μακρύ τους και το κοντό τους, αλλά για το μακρύ χέρι της παραεξουσίας λέξη.

Για το λόγο αυτό εισάγεται ο λεγόμενος συμβολισμός O (Ο-notation), όπου το Ο είναι το αρχικό γράμμα της αγγλικής λέξης order και διαβάζεται "όμικρον κεφαλαίο".

"Δεν συγκαλύψαμε τίποτα και δεν αποκαλύψαμε τίποτα για επικοινωνιακούς λόγους", είπε με στόμφο χθες η γνωστή τηλεπαραθυρατζού Ζέτα Μακρή.

Ακολουθεί όμως ένας τυπικός ορισμός.

Αυτό είναι το κακό, ότι εσείς δεν αποκαλύψατε τίποτα.

Ορισμός: Αν η πολυπλοκότητα ενός αλγορίθμου είναι f(n), τότε λέγεται ότι είναι τάξης O(g(n)), αν υπάρχουν δύο θετικοί ακέραιοι c και n0, έτσι ώστε για κάθε nn0 να ισχύει: |f(n)| [pic] c|g(n)|

Σας εξέθεσαν, εσάς και όλο το πολιτικό σύστημα της χώρας.

Παράδειγμα.

Δεν γνωρίζω, δεν είδα, δεν άκουσα ποιος παρακολουθούσε τον πρωθυπουργό της χώρας.

Έστω ότι η πολυπλοκότητα ενός αλγορίθμου δίνεται από το πολυώνυμο [pic].

Ρωτάμε την κυβέρνηση και τον άφαντο υπουργό Επικοινωνιών κύριο "γιάπι χάπι" Λιάπη:

Ο πιο σημαντικός όρος του πολυωνύμου είναι η τρίτη δύναμη, αρκεί να σκεφτούμε ότι καθώς το x αυξάνεται (και τείνει στο άπειρο) ο όρος αυτός έχει μεγαλύτερο «ειδικό βάρος» και συνεχώς καθίσταται σημαντικότερος, ενώ η σημασία των υπολοίπων όρων σταδιακά μειώνεται.

* Η κυβέρνηση θα τολμήσει να αναστείλει το υπάρχον καθεστώς λειτουργίας της εταιρείας και να την θέσει υπό τον άμεσο και καθολικό έλεγχο των αρμοδίων οργάνων της πολιτείας;

Επιπλέον, αγνοείται ο συντελεστής 2 της τρίτης δύναμης και έτσι προκύπτει ότι [pic].

* Θα τολμήσει αυτεπαγγέλτως να καθίσει στο σκαμνί της δικαιοσύνης για κατασκοπεία σε βάρος του ελληνικού κράτος και σε βάρος Ελλήνων πολιτών όλα τα στελέχη της εταιρείας που συνδέονται άμεσα -διοικητικά ή τεχνικά- με την ασφάλεια του απορρήτου των τηλεπικοινωνιών;

Επομένως, τελικά η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου είναι [pic].

Γιατί δηλαδή να κλείνει το σούπερ μάρκετ που πουλάει μουχλιασμένη και σκουληκιασμένη μυζήθρα Κάτω Καρδιτσομαγούλας και όχι οι καταδότες της κινητής τηλεκατασκοπείας;

Πλέον, η έκφραση αυτή εκφράζει την ποιοτική και όχι την ποσοτική συμπεριφορά του αλγορίθμου.

Αυτοί δεν πουλούσαν σκουληκιασμένες (βλ. worms) επικοινωνίες;

Κατά τον ίδιο τρόπο αν δοθεί η έκφραση [pic], τότε προκύπτει ότι [pic], καθώς αγνοούνται οι μη σημαντικοί όροι του f(n) και ο συντελεστής 5 του όρου [pic].

Αυτός ο κύριος Κορωνιός και οι χρυσοπληρωμένες στελεχάρες της εταιρείας, που ούτε μία συγγνώμη δεν τόλμησαν να ζητήσουν από τους Έλληνες "καταναλωτές" για τις υποκλοπές, δεν έχουν ευθύνες απέναντι στον ελληνικό λαό;

Στο τελευταίο παράδειγμα είναι περισσότερο σαφές, γιατί αγνοούμε το δεύτερο και τρίτο όρο του f(n), αν απλά δώσουμε τιμές 1, 2, 3 κλπ στη μεταβλητή n και υπολογίσουμε το αποτέλεσμα του κάθε όρου της έκφρασης.

Δικαιούνται οι καταναλωτές να υποβάλουν μηνύσεις για παραπλανητική διαφήμιση γι' αυτήν την κορωνίδα της υποκρισίας και όχι μόνο;

Θα παρατηρήσουμε ότι πολύ σύντομα (λόγου χάριν, για n=10), το τελικό αποτέλεσμα της έκφρασης κατά βάση προέρχεται από τη δύναμη [pic].

Ο βάλτος της Κορώνειας με όλα τα λύματα και τα απόβλητά του είναι καθαρότερος από την υπόθεση των υποκλοπών.

Λέγεται ότι ο συμβολισμός Ο δίνει ένα άνω φράγμα για την πολυπλοκότητα ενός αλγορίθμου, δηλαδή δίνει ένα μέτρο, που ποτέ δεν πρόκειται να ξεπεράσει ο αλγόριθμος προς τα επάνω.

Από κοντά και το ΠΑΣΟΚ να προσπαθεί να κεφαλαιοποιήσει πολιτικά κάνα κοψίδι από το εθνικό φιάσκο.

Ωστόσο, στη βιβλιογραφία υπάρχουν και άλλοι συμβολισμοί, αλλά δεν θα μας απασχολήσουν στα πλαίσια αυτού του βιβλίου.

"Η κυβέρνηση επιχειρεί να εμφανιστεί ως θύμα ή ως παρατηρητής των εξελίξεων", λένε οι πασόκοι, λες και είναι οι άμωμες παρθένες της υπόθεσης.

Σχεδόν οι περισσότεροι αλγόριθμοι πρακτικού ενδιαφέροντος έχουν χρονική πολυπλοκότητα, που ανήκει σε μία από τις επόμενες κατηγορίες:

Ποιος έβαλε τις υπογραφές για τα περίφημα συστήματα ανασφάλειας και παρακολούθησης;

- Ο(1).

Ποιος υιοθέτησε όλες τις οδηγίες των Αμερικανών και των Ευρωπαίων περί του πολέμου κατά της τρομοκρατίας;

Κάθε εντολή του προγράμματος εκτελείται μία φορά ή το πολύ μερικές μόνο φορές.

Επί των ημερών σας δεν γιγαντώθηκαν οι εταιρείες κινητής κατασκοπείας;

Στην περίπτωση αυτή λέγεται ότι ο αλγόριθμος είναι σταθερής πολυπλοκότητας.

Δεν έχετε κανένα μερίδιο ευθύνης για το θεσμικό πλαίσιο λειτουργίας τους;

- Ο(logn).

Εν κατακλείδι, όλοι εσείς, κύριοι της κυβέρνησης και της αντιπολίτευσης και των διαφόρων θεσμικών επιτροπάτων και δήθεν ανεξάρτητων αρχών, μήπως, λέω μήπως μας περνάτε για… αμερικανάκια;

Ο αλγόριθμος είναι λογαριθμικής πολυπλοκότητας. Ας σημειωθεί ότι με "log" θα συμβολίζεται ο δυαδικός λογάριθμος, ενώ με "ln" θα συμβολίζεται ο φυσικός λογάριθμος. Συνήθως, οι λογάριθμοι που χρησιμοποιούνται στο βιβλίο αυτό είναι δυαδικοί. - O(n). Η πολυπλοκότητα λέγεται γραμμική. Αυτή είναι η καλύτερη επίδοση για έναν αλγόριθμο που πρέπει να εξετάσει ή να δώσει στην έξοδο n στοιχεία. - O(n logn). Διαβάζεται όπως ακριβώς γράφεται (n logn), δηλαδή χωρίς να χρησιμοποιείται κάποιο επίθετο (όπως για παράδειγμα γραμμολογαριθμική). Στην κατηγορία αυτή ανήκει μία πολύ σπουδαία οικογένεια αλγορίθμων ταξινόμησης. - O[pic]. Τετραγωνική πολυπλοκότητα. Πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο για προβλήματα μικρού μεγέθους. - O[pic]. Κυβική πολυπλοκότητα. Και αυτοί οι αλγόριθμοι πρέπει να χρησιμοποιούνται μόνο για προβλήματα μικρού μεγέθους. - O[pic]. Σπάνια στην πράξη χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι εκθετικής πολυπλοκότητας.

Στον πίνακα 5.3 υπολογίζεται ο χρόνος που απαιτείται από αλγορίθμους διαφόρων πολυωνυμικών και εκθετικών πολυπλοκοτήτων ως συνάρτηση του μεγέθους του προβλήματος (n). Βέβαια υποτίθεται ότι κάθε στοιχειώδης πράξη απαιτεί ένα μικροδευτερόλεπτο. Έτσι αν για έναν αλγόριθμο τάξης Ο[pic] διπλασιασθεί το μέγεθος του προβλήματος, τότε απαιτείται οκταπλάσιος (23) χρόνος για να περατωθεί ο αλγόριθμος. Επίσης διαπιστώνεται αμέσως ότι, οι αλγόριθμοι εκθετικής πολυπλοκότητας δεν είναι πρακτικής χρησιμότητας ακόμη και για μικρό αριθμό δεδομένων.

Πιν. 5.3. Χρόνοι εκτέλεσης αλγορίθμων ανάλογα με την πολυπλοκότητα και το μέγεθος Πολυπλοκότητα Μέγεθος προβλήματος αλγορίθμου n=20n=40 n=60 Ο(n) 0.00002 δεύτερα 0.00004 δεύτερα 0.00006 δεύτερα Ο[pic] 0.0004 δεύτερα 0.0016 δεύτερα 0.0036 δεύτερα Ο[pic] 0.008 δεύτερα0.064 δεύτερα 216 δεύτερα Ο[pic] 1.0 δεύτερo 2.7 ημέρες366 αιώνες Ο(n!) 771 αιώνες 3 1032 αιώνες3 1066 αιώνες

Η ανάλυση αλγορίθμων είναι ιδιαίτερα σημαντικό κεφάλαιο για όσους μελετούν βαθύτερα την επίδοση αλγορίθμων. Σκοπός μας δεν είναι μόνο να σχεδιάσουμε έναν αλγόριθμο, αλλά και να διαπιστώσουμε την επίδοσή του, δηλαδή να εκφράσουμε την πολυπλοκότητά του με το συμβολισμό Ο. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε λεπτομερέστερα δύο από τους αλγορίθμους που αναπτύχθηκαν στο κεφάλαιο 3, ενώ για τους υπόλοιπους θα δώσουμε απλώς την αντίστοιχη έκφραση με βάση το συμβολισμό Ο.