ΟΚΛΑΔΟΝ ΑΜΕΡΙΚΑΣ ΚΑΠ

Προσδιορισμός των τοπικών ακροτάτων

Καζαμίας νεκρών (Φεβρουάριος 1985)

Ελβετοί θαλασσοπόροι

Με μια προσεκτική παρατήρηση του σχήματος 32β βλέπουμε ότι αν σ’ ένα εσωτερικό σημείο [pic] ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε στο σημείο [pic] η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι οριζόντια, δηλαδή ισχύει [pic].

Γράφει ο Θέμης Λιβεριάδης

Μπορεί η Ελβετία να μη βρέχεται από θάλασσα, ωστόσο κατάφερε να γίνει η πρώτη ευρωπαϊκή χώρα που κατακτά το μεγαλύτερο τρόπαιο στην ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης, το Αμέρικας Καπ. Αυτό επιβεβαιώνεται από το παρακάτω θεώρημα, που είναι γνωστό ως Θεώρημα του Fermat.

Το σκάφος «Αλίνγκι» με χορηγό τον ιταλικής καταγωγής δισεκατομμυριούχο Ερνέστο Μπερταρέλι και κυβερνήτη τον διάσημο Νεοζηλανδό Ράσελ Κουτς επικράτησε των κατόχων του τίτλου Νεοζηλανδών με «σουίπ» (5-0), στον Κόλπο Χαουράκι του Όκλαντ. ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat)

Ένα δάσος σκοτωμένων φίλων το μυαλό μου (Γ.Σ.)

Στα 152 χρόνια ιστορίας της διοργάνωσης, είχαν προσπαθήσει μερικοί από τους πλουσιότερους Ευρωπαίους να κατακτήσουν το τρόπαιο αλλά πάντα αποτύγχαναν μέχρι που το «Αλίνγκι» πέτυχε τη μεγάλη έκπληξη.

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και [pic] ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο [pic] και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: [pic]

Ιανουάριο (2000) έφυγε ο Γιώργος Χειμωνάς, Φεβρουάριο (1985) ο Γιώργος Ιωάννου, Μάρτιο (2005) ο Μίλτος Σαχτούρης.

Λόγω τού ότι η Ελβετία δεν βρέχεται από θάλασσα, πολλά λιμάνια της Ιταλίας, της Γαλλίας και της Πορτογαλίας έχουν εκδηλώσει ενδιαφέρον για να φιλοξενήσουν το επόμενο Αμέρικας Καπ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ [pic]

Και οι τρεις υπήρξαν για μένα φάροι στο υγρό σκοτάδι της δημιουργίας, και οι τρεις πολύτιμοι φίλοι.

Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο [pic] τοπικό μέγιστο.

Σήμερα θέλω να θυμηθώ σκόρπιες σκηνές από όσα έζησα με τον Ιωάννου.

Επειδή το [pic] είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ' αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic] και [pic], για κάθε [pic].

Μας γνώρισε φθινόπωρο του 1969 ο Γιώργος Σαββίδης.

(1)

Είχε κανονίσει, όπως συνήθιζε, το πού και τι θα φάμε!

Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο [pic], ισχύει [pic].

Απόψε θα πάμε για ψάρι στου Μπούκη(;) στη Μηχανιώνα.

Επομένως, - αν [pic], τότε, λόγω της (1), θα είναι [pic], οπότε θα έχουμε [pic] (2) - αν [pic], τότε, λόγω της (1), θα είναι [pic], οπότε θα έχουμε [pic].

Έχε υπόψη σου, πήρα την πρωτοβουλία και κάλεσα τον Γιώργο τον Ιωάννου.

(3)

Να γνωριστείτε επιτέλους, γιατί εσείς είστε πολύ… μπαγιάτηδες!

Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε [pic].

Την άλλη κιόλας μέρα τηλεφώνησε να πάω σπίτι του, στην Αγίου Δημητρίου.

Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.

Έμεινα πολλές ώρες… Κατά τα ξημερώματα "σφραγίζοντας", όπως είπε, τη γνωριμία μας με το φως μόνο ενός κεριού μου διάβασε ένα ανέκδοτο τότε διήγημα (από τη "Σαρκοφάγο"), την "Παναγιά τη Ρευματοκρατόρισσα".

ΣΧΟΛΙΟ

Ήμουνα πολύ συγκινημένος και προς το τέλος βούρκωσα -κι όσο κι αν προσπάθησα να το κρύψω, ο Γιώργος το κατάλαβε…

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η [pic] είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων.

Χρόνια μετά στην Αθήνα μου το 'ξομολογήθηκε, συνδέοντάς το με πικρή πείρα του ότι πολλοί άνθρωποι δεν επικοινωνούν και ειδικότερα στο "χώρο" μας κρύβουνε τη συγκίνηση ή το θαυμασμό τους για την "έκφραση" του Άλλου.

Επομένως, όπως φαίνεται και στα σχήματα 29 και 30, οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ είναι:

Αυτοί, μου είπε, είναι κομπλεξικοί, που καταντούνε φθονεροί.

1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.

Όμως δεν είναι ουσιαστικά "δικοί" μας… κι ας απατούνε τα φαινόμενα.

2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.

Αυτός ήταν ο Γιώργος.

3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).

Γιατί έδινε κι έπαιρνε χαρά από τους ανθρώπους κι αντίστοιχα ήταν ευάλωτος να πληγωθεί με το παραμικρό.

Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ. [pic]

Τότε γινόταν σκαντζόχοιρος…

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic].

Γιατί αποστρεφότανε την πόζα και την υποκρισία.

Η f είναι συνεχής στο [symbol] και παραγωγίσιμη στο [pic] με [pic].

Γι' αυτό στην κηδεία του Σεφέρη ξέφυγε απ' τη στοιχημένη τη σειρά του "λογοτεχνικού κατεστημένου" και έγινε ένα με νεότερους -μπροστά, με υψωμένη τη γροθιά, κλαίγοντας και ουρλιάζοντας συνθήματα.

Οι ρίζες της [pic] είναι οι 0 και 2.

Σε μία εκδρομή στην Καστοριά -μόνοι στο αυτοκίνητο, να ανταμώσουμε τους άλλους- τον ρώτησα ως πιο μεγάλο τι θυμόταν από την Κατοχή και τον εμφύλιο…

Επειδή η [pic] μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, τα κρίσιμα σημεία της f είναι οι αριθμοί 0, 1 και 2.

Θαρρείς τον ακούω με βροντερή φωνή να τραγουδάει άγνωστα για μένα αντάρτικα τραγούδια.

Όμως, όπως φαίνεται στο σχήμα, τα σημεία 1 και 2 είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων, ενώ το σημείο 0 δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου.

Νόμιζα ότι θα 'σπαγαν τα τζάμια…

Άρα δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτων της f.

Η μνήμη τώρα ξεχειλίζει, αλλά δεν είναι του παρόντος.

Επομένως, χρειαζόμαστε ένα κριτήριο το οποίο να μας πληροφορεί ποια από τα κρίσιμα σημεία της f είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων αυτής.

Τη μέρα της ταφής του χιόνιζε, όπως τώρα…

Σχετικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

Για όσους έχουν ασκηθεί με σημασίες… στην κηδεία του πήγε ο Δημήτρης Μαρωνίτης…

ΘΕΩΡΗΜΑ

Και ο Ντίνος Χριστιανόπουλος δήλωσε "ευτυχώς ησυχάσαμε πλέον απ' αυτόν, η Θεσσαλονίκη κι εγώ…".

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα [pic], με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του [pic], στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. i) Αν [pic] στο [pic] και [pic] στο [pic], τότε το [pic] είναι τοπικό μέγιστο της f. (Σχ. 35α) ii) Αν [pic] στο [pic] και [pic] στο [pic], τότε το [pic] είναι τοπικό ελάχιστο της f. (Σχ. 35β) iii) Aν η [pic] διατηρεί πρόσημο στο [pic], τότε το [pic] δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο [pic]. (Σχ. 35γ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Επειδή [pic] για κάθε [pic] και η f είναι συνεχής στο [pic], η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic]. Έτσι έχουμε [pic], για κάθε [pic]. (1) Επειδή [pic] για κάθε [pic] και η f είναι συνεχής στο [pic], η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [pic]. Έτσι έχουμε: [pic], για κάθε [pic]. (2) [pic] [pic] Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: [pic], για κάθε [pic], που σημαίνει ότι το [pic] είναι μέγιστο της f στο [pic] και άρα τοπικό μέγιστο αυτής. ii) Εργαζόμαστε αναλόγως. [pic] [pic] iii) Έστω ότι [pic], για κάθε [pic]. [pic] [pic] Επειδή η f είναι συνεχής στο [pic] θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα [pic] και [pic]. Επομένως, για [pic] ισχύει [pic]. Άρα το [pic] δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic]. Πράγματι, έστω [pic] με [pic]. - Αν [pic], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], θα ισχύει [pic]. - Αν [pic], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], θα ισχύει [pic]. - Τέλος, αν [pic], τότε όπως είδαμε [pic]. Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει [pic], οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic]. Ομοίως, αν [pic] για κάθε [pic]. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic] που είναι ορισμένη στο [symbol]. Η f είναι παραγωγίσιμη στο [symbol], με [pic]. Οι ρίζες της [pic] είναι [pic] (διπλή) ή [pic], το δε πρόσημο της [pic] φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

|x |[pic]| |0 | |3 | |[pic]| | | | | | | | | | |[pic] | |[pic]|0 |[pic]|0 |+ | | | | | | | | | | |

Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [pic], γνησίως αύξουσα στο διάστημα [pic] και παρουσιάζει ένα μόνο τοπικό ακρότατο, συγκεκριμένα ολικό ελάχιστο για [pic], το [pic].

ΣΧΟΛΙΑ - Όπως είδαμε στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος στην πρώτη περίπτωση το [pic] είναι η μέγιστη τιμή της f στο [pic], ενώ στη δεύτερη περίπτωση το [pic] είναι η ελάχιστη τιμή της f στο [pic]. - Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα [pic], όπως γνωρίζουμε (Θεώρημα § 1.8),η f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής: 1. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f. 2. Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων. 3. Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της f. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic], [pic]. Έχουμε [pic], [pic]. Οι ρίζες της [pic] είναι οι [pic], [pic]. Επομένως, τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα [pic], [pic]. Οι τιμές της f στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα του διαστήματος [pic] είναι [pic], [pic], [pic] και [pic]. Άρα, η μέγιστη τιμή της f στο [pic] είναι ίση με 30 και παρουσιάζεται για [pic], ενώ η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 3 και παρουσιάζεται για [pic]. - Για να εφαρμόσουμε το προηγούμενο θεώρημα απαιτείται να προσδιορίσουμε το πρόσημο της [pic] εκατέρωθεν του [pic]. Όταν ο προσδιορισμός αυτός δεν είναι εύκολος ή είναι αδύνατος, τότε το παρακάτω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται, μπορεί να μας πληροφορήσει αν το [pic] είναι θέση τοπικού ακρότατου.

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα [pic] και [pic] ένα σημείο του [pic] στο οποίο η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. - Αν [pic] και [pic], τότε το [pic] είναι τοπικό μέγιστο. - Αν [pic] και [pic], τότε το [pic] είναι τοπικό ελάχιστο.

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης [pic], [pic]. Έχουμε [pic] και [pic], οπότε οι ρίζες της [pic] είναι οι [pic] και [pic]. Για [pic], είναι [pic], ενώ για [pic], είναι [pic]. Έτσι έχουμε α) [pic] και [pic], οπότε το [pic] είναι τοπικό μέγιστο της f. β) [pic] και [pic], οπότε το [pic] είναι τοπικό ελάχιστο της f.