ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Η έννοια της παραγώγου

Οι αρχαίοι Έλληνες ονόμαζαν εφαπτομένη μιας καμπύλης την ευθεία που έχει ένα μόνο κοινό σημείο μ’ αυτήν, χωρίς να την τέμνει και την κατασκεύαζαν με βάση γεωμετρικές ιδιότητες που απορρέουν απ’ αυτόν τον ορισμό. Έτσι ήταν γνωστός ο τρόπος κατασκευής εφαπτομένων στον κύκλο και τις κωνικές τομές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή). Επίσης, με προσφυγή σε κινηματικές μεθόδους, ο Αρχιμήδης είχε επινοήσει μέθοδο κατασκευής της εφαπτομένης μιας καμπύλης που είναι σήμερα γνωστή ως "έλικα του Αρχιμήδη". Η επόμενη εξέλιξη στο ζήτημα αυτό έγινε στις αρχές του 17ου αιώνα, όταν άρχισε η συστηματική εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων στη γεωμετρία. Το επόμενο παράδειγμα δείχνει τον τρόπο με τον οποίο η Άλγεβρα εφαρμόζεται στον προσδιορισμό της εφαπτομένης μιας παραβολής. [pic] Έστω [pic] η εξίσωση μιας παραβολής με κορυφή την αρχή των αξόνων και [pic] ένα σημείο της, στο οποίο ζητείται να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη ε. Η κατασκευή αυτή μπορεί να γίνει αν προσδιορίσουμε ένα άλλο χαρακτηριστικό σημείο της ε, όπως π.χ. το σημείο Τ στο οποίο τέμνει τον άξονα των τετμημένων. Θεωρούμε ένα άλλο σημείο της παραβολής, το [pic], πολύ γειτονικό του Μ, τέτοιο ώστε [pic] (το h θεωρείται εδώ μια απειροελάχιστη μεταβολή του [pic]). Στην περίπτωση αυτή τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΡΤ και ΝΣΤ μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση όμοια και άρα θα ισχύει κατά προσέγγιση η αναλογία [pic]. Αν θέσουμε [pic], τότε διαδοχικά θα ισχύει: [pic] ή [pic] ή [pic] ή [pic]. (1) Το πρώτο μέλος αυτής της κατά προσέγγιση ισότητας γράφεται: [pic]και έτσι η (1) γίνεται [pic]. Αν τώρα θέσουμε, όπως οι μαθηματικοί του 17ου αιώνα, [pic] βρίσκουμε από την τελευταία ότι [pic] ή [pic]. Γνωρίζοντας λοιπόν το σημείο επαφής [pic], προσδιορίζουμε από την τελευταία το μήκος [pic] που μας δίνει αμέσως το σημείο Τ. Η ευθεία ΜΤ είναι η ζητούμενη εφαπτομένη της παραβολής. Η προηγούμενη διαδικασία ήταν ένας από τους δρόμους που οδήγησαν ιστορικά, στην έννοια της παραγώγου.