Συσκευή τηλεόρασης προκάλεσε πανικό

Παράσταση προσημασμένων ακέραιων αριθμών

Αναστάτωση προκλήθηκε πρόσφατα στη βρετανική ακτοφυλακή εξαιτίας ενός σήματος SOS που έφτασε σε βάση της πολεμικής αεροπορίας (RAF). Για να παρασταθεί ένας τέτοιος αριθμός, χρειάζεται να εκφραστεί τόσο η απόλυτη τιμή του, όσο και το πρόσημό του με 0 ή 1. Μέσω δορυφόρου, η πηγή του σήματος κινδύνου εντοπίστηκε στην περιοχή του λιμανιού του Πόρτσμουθ, στη Μάγχη. Για το πρόσημο χρησιμοποιείται το πρώτο από αριστερά δυαδικό ψηφίο της λέξης, ενώ στα υπόλοιπα n-1 τοποθετείται η απόλυτη τιμή του αριθμού σε δυαδική μορφή. Ως όφειλαν, οι υπεύθυνοι κινητοποίησαν τον απαιτούμενο μηχανισμό και ελικόπτερο χτένισε την περιοχή, αναζητώντας κάποιο πλοίο ή αεροπλάνο που να βρισκόταν σε κίνδυνο. Αν ο αριθμός είναι θετικός, το πρόσημο παριστάνεται με το 0, ενώ αν είναι αρνητικός, με το 1. Μάταια όμως. Έτσι αν το n=6, ο αριθμός +13 παριστάνεται με το 001101, ενώ ο αριθμός -13 με το 101101. Τη λύση στο μυστήριο ήρθε να δώσει δύο ώρες αργότερα η Ofcom, ο οργανισμός που ελέγχει τις βρετανικές τηλεπικοινωνίες:

Αν και αυτός ο τρόπος παράστασης είναι σχετικά απλός, δεν εξυπηρετεί στη σχεδίαση των κυκλωμάτων που απαιτούνται για τις αριθμητικές πράξεις.

Το SOS είχε σταλεί από… κάποιο νοικοκυριό, συγκεκριμένα από τον αποκωδικοποιητή μιας ψηφιακής τηλεόρασης!

Έτσι έχουν επινοηθεί και άλλες μέθοδοι παράστασης των ακεραίων, όπως η μέθοδος του συμπληρώματος ως προς 1 (1’s complement) και η μέθοδος του συμπληρώματος ως προς 2 (2’s complement), στις οποίες θα αναφερθούμε στη συνέχεια.

"Ήταν πολύ ασυνήθιστο, πραγματικά αλλόκοτο", σχολίασε ο εκπρόσωπος της RAF Μάικλ Μάλφορντ, προσθέτοντας πως ο ιδιοκτήτης της τηλεόρασης πρέπει να αγοράσει λαχείο, καθώς η πιθανότητα ένας αποκωδικοποιητής να μεταδώσει σήμα ακριβώς στο βασικό κανάλι έκτακτων αναγκών είναι μικρότερη από 1 στα 14 εκατομμύρια.

Και στις δύο αυτές παραστάσεις το αριστερότερο bit αφορά το πρόσημο, δηλαδή 0 θετικός, 1 αρνητικός.

Η… διασωθείσα τηλεόραση εξετάζεται από ειδικούς της Ofcom, καθώς οι αποκωδικοποιητές είναι σχεδιασμένοι να λαμβάνουν σήματα και όχι να εκπέμπουν.

Παράσταση συμπληρώματος ως προς 1 Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, για την παράσταση ενός θετικού δυαδικού αριθμού τοποθετείται στο πρώτο από αριστερά bit το 0 και στα υπόλοιπα η απόλυτη τιμή του από δεξιά προς τα αριστερά. Αν ο αριθμός είναι αρνητικός παριστάνεται με το συμπλήρωμα ως προς 1 του αντίστοιχου θετικού αριθμού. Το συμπλήρωμα ως προς 1 ενός δυαδικού αριθμού βρίσκεται αν αντικατασταθούν όλα τα 0 με 1 και όλα τα 1 με 0 (συμπεριλαμβανομένου και του προσήμου). Για παράδειγμα, στον επόμενο πίνακα φαίνεται πώς προκύπτει το συμπλήρωμα ως προς 1 του αριθμού 1 0 0 1 1 0 1 1

Έτσι η παράσταση, με τη μέθοδο του συμπληρώματος ως προς 1, του αριθμού +11 με 6 bit είναι η επόμενη [pic] και του αριθμού -11 είναι η [pic] Με τη μέθοδο αυτή και με τη χρήση 8 bit μπορούν να παρασταθούν αριθμοί από το -127 έως 127 ή αλλιώς από το [pic] έως [pic]. Η παράσταση συμπληρώματος ως προς 1 θεωρείται απηρχαιομένη και έχει πλέον εγκαταλειφθεί.

Με τη μέθοδο συμπληρώματος ως προς 1 ο μέγιστος ακέραιος που μπορεί να παρασταθεί με n bit είναι ο [pic]και ο ελάχιστος είναι [pic]. Μειονέκτημα: το 0 παριστάνεται με δύο τρόπους: σαν 00000…000 ή σαν 11111…111

Παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 Αυτή η μέθοδος παράστασης είναι ίδια με την προηγούμενη, μόνο που, αντί για το συμπλήρωμα ως προς 1 ενός αριθμού, χρησιμοποιείται το συμπλήρωμα ως προς 2. Το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού βρίσκεται αν βρεθεί πρώτα το συμπλήρωμά του ως προς 1 και σε αυτό προστεθεί το 1. Για παράδειγμα στον επόμενο πίνακα υπολογίζεται το συμπλήρωμα ως προς 2 του αριθμού 1 0 0 1 1 0 1 1. [pic]

Έτσι η παράσταση, με τη μέθοδο του συμπληρώματος ως προς 2, του αριθμού +27 με 8 bit είναι: [pic] και του αριθμού -27 είναι: [pic]

Με τη μέθοδο αυτή και με τη χρήση 8 bit μπορούν να παρασταθούν αριθμοί από το -128 έως 127 ή αλλιώς από το -27 έως 27 - 1. Το πλεονέκτημα των μεθόδων "συμπληρώματος ως προς 1 και 2" είναι ότι ο υπολογιστής δεν χρειάζεται να διαθέτει ειδικά κυκλώματα για την αφαίρεση, μια και για να αφαιρεθεί ένας αριθμός από έναν άλλο αρκεί να προστεθεί στο μειωτέο το συμπλήρωμα ως προς 2 ή προς 1 του αφαιρετέου. Μάλιστα, τα κυκλώματα που χρησιμοποιούνται για την αντιστροφή των δυαδικών ψηφίων κατασκευάζονται πολύ πιο εύκολα από αυτά της αφαίρεσης. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να αφαιρέσουμε τον αριθμό +12 από τον +17 με τη χρήση 6 bit, έχουμε: α) Αφαίρεση β) Μέθοδος συμπληρώματος ως προς 2

Με τη μέθοδο συμπληρώματος ως προς 2, ο μέγιστος ακέραιος που μπορεί να παρασταθεί με n bit είναι ο [pic] και ο ελάχιστος είναι [pic].