"Τα ευρήματα συνηγορούν στην εκδοχή της αυτοκτονίας" δήλωσε χθες ο ιατροδικαστής Θ. Βουγιουκλάκης, που έκανε τη δεύτερη νεκροψία στο πτώμα του 23χρονου Ρώσου. Η ιατροδικαστής Ρ. Λεονταρή (ένθετη φωτογραφία) κατέθεσε στον αντιεισαγγελέα Τρικάλων παρέχοντας διευκρινήσεις για τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε μετά την πρώτη νεκροψία.

ΛΙΒΕΡΠΟΥΛ: ΚΑΤΕΚΤΗΣΕ ΤΟ ΛΙΓΚ ΚΑΠ ΝΙΚΩΝΤΑΣ 2-0 ΤΗΝ ΜΑΝΤΣΕΣΤΕΡ

1.7 ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Του Ι.Χ. ΓΙΑΤΣΙΟΥ

Στο «κόκκινο»

Στα παρακάτω σχήματα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων [pic] σε ένα διάστημα της μορφής [pic]. [pic] [pic] [pic]

Αυτοκτονία δείχνουν τα ευρήματα και της δεύτερης νεκροψίας στη σωρό του 23χρονου Ρώσου Μαξίμ Ζελίν, που διενήργησε χθες το βράδυ ο καθηγητής Ιατροδικαστικής του πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Θεόδωρος Βουγιουκλάκης, μετά τη σχετική εντολή της εισαγγελίας εφετών Λάρισας.

ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΑΣΜΗΣ

Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο, - το [pic] προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό [pic].

Όπως δήλωσε ο κ. Βουγιουκλάκης μετά την εξέταση, η σωρός του Ζελίν αλλά και το όπλο που είχε μαζί του μετακινήθηκαν ελαφρά μετά το θάνατό του, πράξη που αποδίδεται στους άντρες των ΕΚΑΜ που έφτασαν πρώτοι στο σημείο.

Οι «κόκκινοι» πανηγυρίζουν την κατάκτηση του Λιγκ Καπ. Η Λίβερπουλ ήταν τελικά πολύ σκληρή για τα… τρυφερά δόντια των «Μπέμπηδων»

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο [pic] όριο το [pic] και γράφουμε [pic] - το [pic] αυξάνεται απεριόριστα.

Επιπλέον, διαπιστώθηκε ότι τόσο τα πέλματα όσο και τα χέρια του Ρώσου έφεραν κακώσεις από την τριήμερη περιπλάνησή στη δύσβατη περιοχή. Στο δεύτερο «σπίτι» της, το Μιλένιουμ του Κάρντιφ, η Λίβερπουλ έσωσε το γόητρό της νικώντας 2-0 τη Μάντσεστερ Γιουνάιτεντ, κατακτώντας ταυτόχρονα τον έβδομο τίτλο Λιγκ Καπ στην ιστορία της.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο [pic] όριο το [pic] και γράφουμε [pic] - το [pic] μειώνεται απεριόριστα.

Παράλληλα, κατηγορηματική για τα αίτια του θανάτου του 23χρονου Ρώσου εμφανίστηκε εκ νέου χθες η προϊσταμένη της ιατροδικαστικής υπηρεσίας Λάρισας Ρουμπίνη Λεονταρή ενώπιον του αντιεισαγγελέα Τρικάλων Π. Ζάτκα, στον οποίο κατέθεσε στο πλαίσιο της επείγουσας προκαταρτικής έρευνας που διέταξε ο εισαγγελέας του Αρείου Πάγου Δ. Λινός. Πρωταγωνιστής του τελικού αναδείχτηκε ο τερματοφύλακας της «κόκκινης μηχανής» Γέρζι Ντούντεκ.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο [pic] όριο το [pic] και γράφουμε [pic].

Μετά την κατάθεσή της στον αντιεισαγγελέα Τρικάλων σε δηλώσεις της η κ. Λεονταρή δεν ανακάλεσε το παραμικρό από τις αρχικές δηλώσεις της περί αυτοκτονίας του Ρώσου κακοποιού.

Ο Πολωνός κίπερ με τις εκπληκτικές αποκρούσεις του έδωσε απάντηση στη Γιουνάιτεντ, την ομάδα που είχε καταρρακώσει την αυτοπεποίθησή του πριν από τρεις μήνες, σε αγώνα πρωταθλήματος, με αποτέλεσμα να χάσει και τη θέση του κάτω από τα δοκάρια της Λίβερπουλ.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Το μοναδικό που πρόσθεσε ήταν ότι επρόκειτο περί επικοινωνιακού λάθος η έκφραση που ανέφερε ότι είναι 100% σίγουρη ότι πρόκειται περί αυτοκτονίας. Ο Γέρζι ήταν ο ήρωας του αγώνα.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο [pic], πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [pic].

Μάλιστα, η κ. Λεονταρή δεν έφερε καμία αντίρρηση να γίνει νέα νεκροψία-νεκροτομή στο πτώμα του 23χρονου Ρώσου. Του είπε πριν το παιχνίδι:

Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν [pic] για μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [pic].

Απέφυγε ωστόσο να σχολιάσει συναδέλφους της ιατροδικαστές και ξεκαθάρισε πως «δεν υπάρχει ζήτημα συγκάλυψης οποιασδήποτε πτυχής του όλου θέματος». «Σήμερα είναι η ημέρα σου», δήλωσε ο Ζεράρ Ουγιέ.

Έτσι, για τις συναρτήσεις [pic] των παρακάτω σχημάτων έχουμε: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] και [pic].

Στον αντιεισαγγελέα Τρικάλων χθες κλήθηκαν να καταθέσουν, εκτός από την προϊσταμένη της ιατροδικαστικής υπηρεσίας Λάρισας, και αξιωματικοί της αστυνομίας από τα Τρίκαλα και ένας αξιωματικός της ΕΛΑΣ από τη Λάρισα. Η Λίβερπουλ δεν έχει χάσει ποτέ τελικό στο Κάρντιφ.

Για τον υπολογισμό του ορίου στο [pic] ή [pic] ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια: [pic] και [pic], [pic] [pic] και [pic], [pic].

ΛΑΡΙΣΑ

Το 2001 κατέκτησε το Λιγκ Καπ και το Κύπελλο, ενώ την ίδια χρονιά νίκησε και τη Μάντσεστερ Γιουνάιτεντ στο Τσάριτι Σιλντς.

Για παράδειγμα, [pic], [pic] και [pic].

"Εμφύλιος" στην ιατροδικαστική υπηρεσία

Όπως και στους προηγούμενους τελικούς, ο Μάικλ Όουεν βρήκε ξανά στόχο στη μοναδική ευκαιρία που του παρουσιάστηκε, στο 86ο λεπτό.

Για τα όρια στο [pic], [pic] ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο [pic] με την προϋπόθεση ότι: - οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και - δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.

Αναστάτωση επικρατεί στην Ιατροδικαστική Υπηρεσία Λάρισας, αφού η προϊσταμένη Ρουμπίνη Λεονταρή μετέβη στον τόπο όπου εντοπίστηκε το πτώμα του Ρώσου κακοποιού αν και σε υπηρεσία βρισκόταν η ιατροδικαστής Αποστολία Ακριβούση, η οποία έφτασε στην περιοχή με περιπολικό της ΕΛΑΣ.

Ήταν και η χαριστική βολή για τη Γιουνάιτεντ, που βρισκόταν πίσω στο σκορ από το 39', όταν σε σουτ του Τζέραρντ η μπάλα χτύπησε στο σώμα του Μπέκαμ, άλλαξε κατεύθυνση και ξεγελώντας τον Μπαρτέζ κατέληξε στα δίχτυα.

Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης

Η κ. Λεονταρή άφησε αιχμές για απειρία της κ. Ακριβούση, επισημαίνοντας ότι έχει προκληθεί αναστάτωση από γνωματεύσεις της για κρούσματα του ιού κοξάκι στη Θεσσαλία και τον αποκεφαλισμό ενός πτώματος, υπόθεση που παραπέμφθηκε για περαιτέρω διερεύνηση στα εργαστήρια ανθρωπολογίας στην Αθήνα.

Στις δηλώσεις του ο σερ Άλεξ Φέργκιουσον δεν απέδωσε τα εύσημα στους νικητές, λέγοντας πως «το Λιγκ Καπ δεν ήταν στις προτεραιότητές μας, αντίθετα με την Πρέμιερ Λιγκ και το Τσάμπιονς Λιγκ.

- Έστω η συνάρτηση [pic].

Η προϊσταμένη της Ιατροδικαστικής Υπηρεσίας Λάρισας αποκάλυψε ότι με αφορμή αυτά τα περιστατικά έχει ζητήσει εδώ και καιρό από το υπουργείο Δικαιοσύνης την αντικατάσταση της κ. Ακριβούση.

Αν κοιτάξετε την απόδοση του τερματοφύλακα, θα καταλάβετε ποιος κέρδισε το παιχνίδι».

Αν εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ορίων για τον υπολογισμό του [pic], καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.

Με τη χθεσινή της επιτυχία η Λίβερπουλ εξασφάλισε τουλάχιστον την έξοδό της στο Κύπελλο ΟΥΕΦΑ, αφού μέσω του πρωταθλήματος θεωρείται πολύ δύσκολη πλέον η έξοδός της στην Ευρώπη.

Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:

ΣΤΗΝ ΠΡΕΜΙΕΡ ΛΙΓΚ

Για [pic] έχουμε [pic].

Η Άρσεναλ στον γνωστό ρυθμό της νίκησε και την Τσάρλτον 2-0 δείχνοντας πως δύσκολα θα της ξεφύγει ο τίτλος.

Επειδή [pic] και [pic] έχουμε [pic].

Το μεγάλο ενδιαφέρον επικεντρώνεται στη «μάχη» της δεύτερης θέσης μεταξύ της Μάντσεστερ Γιουνάιτεντ και της Νιούκαστλ.

Γενικά

Οι «ανθρακωρύχοι» επικράτησαν 2-1 της Τσέλσι και έπιασαν στη δεύτερη θέση τη Γιουνάιτεντ και, φυσικά, φλερτάρουν έντονα με την έξοδό τους στο Τσάμπιονς Λιγκ.

Για την πολυωνυμική συνάρτηση [pic], με [pic] ισχύει: [pic] και [pic]

Ήταν η πρώτη φορά που η Νιούκαστλ υπό τις οδηγίες του Μπόμπι Ρόμπσον (ανέλαβε το 1999) έπαιρνε τη νίκη από τους «μπλε».

Για παράδειγμα, [pic].

Να σημειωθεί επίσης πως η Τσέλσι είχε την ατυχία να δεχτεί αυτογκόλ από τον Τζίμι Χασελμπάινκ στο 31'.

- Έστω τώρα η συνάρτηση [pic].

Τα αποτελέσματα: Μπλάκμπερν-Μάντσεστερ Σίτι 1-0 (Ντιν 13').

Για [pic] έχουμε: [pic].

Φούλαμ-Σάντερλαντ 1-0 (Σάχα 85').

Επειδή [pic] και [pic] έχουμε [pic].

Μίντλεσμπρο-Έβερτον 1-1 (Ζουνίνιο 74'-Γουότσον 23').

Γενικά, Για τη ρητή συνάρτηση [pic], [pic], [pic] ισχύει: [pic] και [pic]

Νιούκαστλ-Τσέλσι 2-1 (Χάσελμπαϊνκ 31' αυτογκόλ, Μπερνάρ 53'-Λάμπαρντ 37').

Για παράδειγμα, [pic]. [pic]

Σαουθάμπτον-Μπρόμγουιτς 1-0 (Μπίτι 8').

Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης

Γουέστ Χαμ-Τότεναμ 2-0 (Φέρντιναντ 31', Κάρικ 47').

Αποδεικνύεται(1) ότι:

Άρσεναλ-Τσάρλτον 2-0 (Τζέφερς 26', Πιρές 45').

- Αν [pic] (Σχ. 60), τότε

|[pic], [pic]| | | |[pic], [pic] | [pic] - Αν [pic] (Σχ. 61), τότε

|[pic], [pic] | |[pic], [pic] |

Πεπερασμένο όριο ακολουθίας Η έννοια της ακολουθίας είναι γνωστή από προηγούμενες τάξεις. Συγκεκριμένα: ΟΡΙΣΜΟΣ Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση [pic]. Η εικόνα [pic] της ακολουθίας α συμβολίζεται συνήθως με [pic], ενώ η ακολουθία α συμβολίζεται με [pic]. Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic], [pic] είναι μια ακολουθία. Επειδή το πεδίο ορισμού κάθε ακολουθίας, είναι το [pic], έχει νόημα να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της για πολύ μεγάλες τιμές του ν, δηλαδή όταν [pic]. Ο ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ανάλογος του ορισμού του ορίου συνάρτησης στο [pic] και διατυπώνεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Θα λέμε ότι η ακολουθία [pic] έχει όριο το [pic] και θα γράφουμε [pic], όταν για κάθε [pic], υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε για κάθε [pic] να ισχύει [pic] Οι γνωστές ιδιότητες των ορίων συναρτήσεων όταν [pic], που μελετήσαμε στα προηγούμενα, ισχύουν και για τις ακολουθίες. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων αυτών μπορούμε να υπολογίζουμε όρια ακολουθιών. Για παράδειγμα, [pic].