Κανόνες de L’ Hospital

Έστω η συνάρτηση [pic]. Για να εξετάσουμε αν η ευθεία [pic] είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της [pic], χρειάζεται να υπολογίσουμε το [pic]. (1) Παρατηρούμε ότι, αν εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου πηλίκου, παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής [pic]. Οι μέθοδοι που εφαρμόσαμε στο κεφάλαιο του ορίου για την άρση της απροσδιοριστίας (απλοποίηση κτλ.) δεν εφαρμόζονται στο πιο πάνω όριο. Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές [pic], [pic], ισχύουν τα επόμενα θεωρήματα (η απόδειξή τους παραλείπεται), που είναι γνωστά ως κανόνες de l’ Hospital.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (μορφή [pic]) Αν [pic], [pic], [pic] και υπάρχει το [pic] (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: [pic].

Έτσι το παραπάνω όριο (1) υπολογίζεται ως εξής: Έχουμε: [pic], [pic] και [pic] Επομένως: [pic], που σημαίνει ότι η ευθεία [pic] είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (μορφή [pic]) Αν [pic], [pic], [pic] και υπάρχει το [pic] (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: [pic].

Για παράδειγμα, ο υπολογισμός του [pic] γίνεται ως εξής: Έχουμε: [pic], [pic] και [pic]. Επομένως: [pic].

ΣΧΟΛΙΑ 1. Το θεώρημα 2 ισχύει και για τις μορφές [pic], [pic], [pic]. 2. Τα παραπάνω θεωρήματα ισχύουν και για πλευρικά όρια και μπορούμε, αν χρειάζεται, να τα εφαρμόσουμε περισσότερες φορές, αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις τους.