"Institute of Educational Policy" Books
1.4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
Η Έννοια του Γεωμετρικού Μετασχηματισμού [pic] - Γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ότι συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μοναδικό στοιχείο του Β. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις για τις οποίες τα Α και Β συμπίπτουν με το σύνολο [pic] των σημείων ενός καρτεσιανού επιπέδου [pic]. Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο επίπεδο ή, απλά, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί. Δηλαδή, γεωμετρικός μετασχηματισμός είναι οποιαδήποτε συνάρτηση [pic]. [pic] Ως προς τη συνάρτηση αυτή η εικόνα, [pic], του σημείου [pic] θα συμβολίζεται με [pic]. Ένα παράδειγμα γεωμετρικού μετασχηματισμού είναι η συνάρτηση [pic] [pic], η οποία αντιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στο συμμετρικό του [pic] ως προς τον άξονα [pic]. - Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς που απεικονίζουν τα σημεία [pic] στα [pic] των οποίων οι συντεταγμένες δίνονται από ένα σύστημα της μορφής [pic] ή, ισοδύναμα, από μια εξίσωση της μορφής [pic] (1) όπου [pic] πραγματικοί αριθμοί. Αν [pic] και [pic], τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή [pic] (2) Στην περίπτωση αυτή ο γεωμετρικός μετασχηματισμός λέγεται γραμμικός μετασχηματισμός και ο πίνακας [pic] λέγεται πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, ο γεωμετρικός μετασχηματισμός που ορίζεται από το σύστημα [pic] ή, ισοδύναμα, από την εξίσωση [pic] είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα τον [pic]. Με αυτόν τον μετασχηματισμό το σημείο [pic] απεικονίζεται στο [pic], ενώ το σημείο [pic] στο [pic], δηλαδή στον εαυτό του. - Ας θεωρήσουμε τώρα το γραμμικό μετασχηματισμό [pic] [pic] και τα μοναδιαία διανύσματα [pic] και [pic]. Τότε, η εικόνα [pic] του πέρατος [pic] του διανύσματος [pic] έχει συντεταγμένες [pic], αφού [pic], ενώ η εικόνα [pic] του πέρατος [pic] του διανύσματος [pic] έχει συντεταγμένες[pic], αφού [pic]. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι: Oι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, [pic], του διανύσματος [pic] είναι η πρώτη στήλη, ενώ οι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, [pic], του διανύσματος [pic] είναι η δεύτερη στήλη του πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, ο γραμμικός μετασχηματισμός, που απεικονίζει τα πέρατα [pic] και [pic] των διανυσμάτων [pic] και [pic] στα σημεία [pic] και [pic] αντιστοίχως, έχει πίνακα [pic].