Βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

[pic]

1. Συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων Καλούμε συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο [pic] του καρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό του [pic] ως προς την αρχή των αξόνων. Όπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει [pic] Άρα, η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα [pic]. [pic]

2. Συμμετρία ως προς άξονα μια ευθεία ε. Καλούμε συμμετρία ως προς άξονα μια ευθεία ε, το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο [pic] του καρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό του, [pic], ως προς την ευθεία ε. [pic] Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με τη συμμετρία ως προς τον άξονα [pic], τη συμμετρία ως προς τον άξονα [pic] και τη συμμετρία ως προς την ευθεία [pic].

2α. Συμμετρία ως προς τον άξονα [pic]. Όπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει: [pic]. Άρα, η συμμετρία ως προς τον άξονα [pic] είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα [pic]. [pic]

2β. Συμμετρία ως προς τον άξονα [pic] . Όπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει: [pic]. Άρα η συμμετρία ως προς τον άξονα [pic] είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα [pic]. [pic]

2γ. Συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία [pic]. Όπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει: [pic]. Άρα, η συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία [pic] είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα [pic]. Oι παραπάνω γραμμικοί μετασχηματισμοί είναι όλοι ισομετρίες. [pic]

3. Στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ. Έστω [pic] ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και θ μια θετική ή αρνητική γωνία. Καλούμε στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο [pic] του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο πέρας [pic], του διανύσματος [pic] που είναι η τελική θέση του [pic], αν αυτό στραφεί γύρω από το Ο κατά γωνία θ. Αν φ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα [pic] με τον άξονα [pic] και ρ το μέτρο του διανύσματος [pic], τότε θα ισχύει: [pic] (1) και [pic] (2). Έτσι, θα ισχύει [pic] [pic] [pic]. Άρα, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα [pic]. Ειδικότερα: α) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία [pic] έχει πίνακα [pic]. β) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία [pic] έχει πίνακα [pic] και είναι η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων. γ) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία [pic] έχει πίνακα [pic]. δ) Τέλος, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία [pic] έχει πίνακα [pic] και είναι η ταυτοτική απεικόνιση. Εύκολα αποδεικνύεται ότι και η στροφή είναι μια ισομετρία.

4. Ομοιοθεσία. [pic] Καλούμε ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο [pic] το μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο [pic] του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείο [pic] που ορίζεται από την ισότητα [pic]. Επειδή [pic]και[pic], έχουμε: [pic] [pic] [pic] [pic]. Άρα,η ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων και λόγο [pic] είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα [pic].

ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ Για να θυμόμαστε τον πίνακα των παραπάνω γραμμικών μετασχηματισμών, αρκεί να θυμόμαστε ότι η πρώτη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόνας του σημείου [pic], ενώ η δεύτερη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόνας του [pic]. Για παράδειγμα, ο πίνακας της συμμετρίας ως προς τον άξονα [pic] είναι ο [pic] που έχει για πρώτη και δεύτερη στήλη τις συντεταγμένες των συμμετρικών ως προς τον άξονα [pic] των σημείων [pic] και [pic] αντιστοίχως.

5. Παράλληλη μεταφορά. Έστω [pic] ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου [pic]. Καλούμε παράλληλη μεταφορά κατά διάνυσμα [pic] το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο [pic] του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείο [pic] που ορίζεται από την ισότητα [pic] (Σχ. 14). [pic] Επειδή [pic], έχουμε [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]. Άρα, η παράλληλη μεταφορά δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός.