ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] και [pic].

2. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών: [pic], [pic], [pic], [pic], όπου [pic] με [pic].

3. Να βρείτε τους μιγαδικούς [pic] για τους οποίους ισχύει: α) [pic] β) [pic] γ) [pic].

4. Να βρείτε πού ανήκουν οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει: α) [pic] β) [pic] γ) [pic] δ) [pic] ε) [pic].

5. Να βρείτε πού ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: α) [pic] β) [pic]

6. Αν [pic], να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού z, όπου [pic].

7. Από τους μιγαδικούς z, για τους οποίους ισχύει [pic], ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο;

8. Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει [pic], να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με [pic].

9. Για δύο μιγαδικούς αριθμούς [pic] και [pic] να αποδείξετε ότι [pic].

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό [pic] ισχύει: [pic].

2. Έστω ο μιγαδικός [pic], για τον οποίο ισχύει [pic]. Να αποδείξετε ότι: Αν [pic], τότε ο [pic] είναι φανταστικός αριθμός και αντιστρόφως.

3. Έστω ο μιγαδικός [pic] με [pic]. Να αποδείξετε ότι: Ο [pic] είναι πραγματικός, αν και μόνο αν ο [pic] είναι πραγματικός ή [pic].

4. Έστω ο μιγαδικός [pic] με [pic], όπου [pic]. Να αποδείξετε ότι: ο [pic] είναι φανταστικός, αν και μόνο αν ο [pic] είναι φανταστικός.

5. Αν η εικόνα του μιγαδικού [pic] ανήκει στον κύκλο κέντρου [pic] και ακτίνας [pic], να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού [pic].

6. Αν για το μιγαδικό [pic] ισχύει [pic], να δείξετε ότι η εικόνα του [pic] ανήκει στον κύκλο με κέντρο [pic] και ακτίνα [pic].

7. Αν για το μιγαδικό [pic] ισχύει [pic], να βρείτε την τιμή της παράστασης [pic]. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα.

8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών [pic], για τους οποίους ισχύει: [pic]. Ποιο από τα σημεία Μ απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή [pic].

9. Αν [pic] και [pic] είναι οι εικόνες των μιγαδικών [pic] και [pic] αντιστοίχως και [pic], να αποδείξετε ότι: Όταν το [pic] κινείται σε κύκλο κέντρου [pic] και ακτίνας 4, τότε το [pic] κινείται σε μια έλλειψη.

10. α) Αν [pic], να δείξετε ότι [pic]. β) Αν για τους μιγαδικούς [pic] ισχύει [pic], να αποδείξετε ότι: [pic].