Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Αν για τους μιγαδικούς [pic] ισχύει [pic], να αποδειχτεί ότι κανένας από αυτούς δεν είναι πραγματικός αριθμός. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν ένας από τους [pic], για παράδειγμα ο [pic], ήταν πραγματικός, τότε οι μιγαδικοί [pic] και [pic] θα ήταν συζυγείς και επομένως [pic], αφού τα μέτρα δύο συζυγών μιγαδικών είναι ίσα. Τότε όμως θα είχαμε [pic], που είναι άτοπο.

2. Αν για το μιγαδικό z ισχύει [pic], να βρεθεί: α) Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του [pic] στο μιγαδικό επίπεδο. β) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του [pic]. ΛΥΣΗ α) Η ισότητα [pic] επαληθεύεται από όλους τους μιγαδικούς [pic] που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από το σημείο [pic] σταθερή απόσταση ίση με [pic] και μόνο από αυτούς. Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο [pic] και ακτίνα [pic], δηλαδή ο κύκλος [pic] [pic]. β) Το [pic] είναι η απόσταση της εικόνας [pic] από την αρχή [pic], δηλαδή το μήκος [pic]. Από τη Γεωμετρία, όμως, γνωρίζουμε ότι αν η ευθεία [pic]Κ τέμνει τον κύκλο στα [pic] και [pic], τότε [pic], που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του [pic] είναι το μήκος [pic] και η ελάχιστη το μήκος [pic]. Η εξίσωση, όμως, της ευθείας [pic]Κ είναι η [pic]. Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων [pic] και [pic] θα είναι οι λύσεις του συστήματος [pic] που είναι τα ζεύγη [pic] και [pic]. Άρα, η μέγιστη τιμή του [pic] είναι ίση με [pic] και η ελάχιστη ίση με [pic].