"Institute of Educational Policy" Books

Search

Go
Show

Αριθμητικά Συστήματα

Κάθε αριθμός Ν μπορεί να γραφεί με την ακόλουθη μορφή: [pic]

Με αi συμβολίζουμε τα ψηφία του αριθμού και με β παριστάνουμε τη βάση του αριθμητικού συστήματος στο οποίο εκφράζεται ο αριθμός. Το ψηφίο αi πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό βi, γι' αυτό λέμε ότι η τάξη (order) του ψηφίου αi είναι i. To κλασματικό τμήμα του αριθμού είναι αυτό μετά την υποδιαστολή και είναι μικρότερο του 1. Αν ο αριθμός Ν έχει m ακέραια ψηφία, οι εκθέτες i παίρνουν τιμές από Ο έως m-1 για το ακέραιο μέρος του και αν τα κλασματικά του ψηφία είναι n, οι εκθέτες i παίρνουν αρνητικές τιμές από -1 έως -n για το κλασματικό του τμήμα.

Ο δεκαδικός αριθμός 19,278 με τον τρόπο αυτό γράφεται ως 1·101 + 9-10° + 2-10'1 + 7-10'2 + 8-10'3, δηλαδή α1=1, α0=9, α.^2, α.2=7, α.3=8.

Ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β χρειάζεται β διαφορετικά «ψηφία» για την παράσταση των αριθμών, που παίρνουν τις τιμές από Ο έως β-1. Ένας φυσικός αριθμός που έχει m ψηφία, στο σύστημα αυτό μπορεί να πάρει τιμές από Ο έως βm-1, δηλαδή βm διαφορετικές τιμές.

Τα συνηθέστερα αριθμητικά συστήματα είναι αυτά που έχουν βάση τους αριθμούς 2 (δυαδικό σύστημα), 8 (οκταδικό σύστημα, octal system), 10 (δεκαδικό σύστημα) και 16 (δεκαεξαδικό σύστημα, hexadecimal system). Στον πίνακα βλέπουμε τα ψηφία αυτών των αριθμητικών συστημάτων.

Το δεκαεξαδικό σύστημα χρειάζεται 16 ψηφία για την παράσταση των αριθμών, αλλά το γνωστό μας αριθμητικό σύστημα παρέχει μόνο 10 ψηφία (0-9). Για τα επιπλέον 6 ψηφία χρησιμοποιούμε τους χαρακτήρες A-F, δηλαδή Α=10, Β=11, C=12, D=13, E=14 και F=15.

Το δεκαδικό σύστημα δεν είναι το μόνο που έχει χρησιμοποιηθεί από τον άνθρωπο. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν αριθμητικό σύστημα με βάση το 60.

Στο δεκαεξαδικό σύστημα, η ακολουθία ψηφίων «6F3» παριστάνει τον αριθμό 6·162 + 15·161 +3-16°

Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα και είμαστε εξοικειωμένοι με αυτό, έτσι παριστάνουμε τους αριθμούς μόνο με τα ψηφία τους, π.χ. λέμε 15 και όχι 1·101+5·10°. Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε και με οποιοδήποτε άλλο αριθμητικό σύστημα, αρκεί να δηλώνουμε το σύστημα αυτό. Ο προσδιορισμός του συστήματος γίνεται συνήθως με ένα δείκτη που συνοδεύει τον αριθμό και δηλώνει τη βάση του αριθμητικού συστήματος.

Η ακολουθία ψηφίων «321» παριστάνει διαφορετικούς αριθμούς ανάλογα με το σύστημα αρίθμησης που θα δηλώσουμε. Στο δεκαδικό σύστημα θα γράψουμε 321(10) και θα εννοούμε 3·102+2·101+1·10°, ενώ στο οκταδικό σύστημα θα γράψουμε 321(8) και θα εννοούμε 3·82+2·81+1·8°. Στο δεκαεξαδικό σύστημα θα γράψουμε 321(16) και θα εννοούμε 3·162+2·161+1·16°.

Ο αριθμός 1101(2) είναι γραμμένος στο δυαδικό σύστημα, έτσι αντιστοιχεί στην έκφραση 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1.2°.

Τα ψηφία ενός αριθμού γραμμένου στο δυαδικό σύστημα ονομάζονται bits (binary digits, δυαδικά ψηφία). Το πιο αριστερό ψηφίο του αριθμού ονομάζεται περισσότερο σημαντικό ψηφίο (Most Significant Bit, MSB), γιατί πολλαπλασιάζεται με το μεγαλύτερο συντελεστή, και το πιο δεξιό ψηφίο του αριθμού ονομάζεται λιγότερο σημαντικό ψηφίο (Least Significant Bit, LSB), γιατί πολλαπλασιάζεται με το μικρότερο συντελεστή.