Διατάξεις

[pic] Ας υποθέσουμε ότι μία επιτροπή με 5 μαθητές συνεδριάζει για να εκλέξει πρόεδρο, γραμματέα, και ταμία. Αν θέλουμε να βρούμε το πλήθος των διαφορετικών τριάδων που θα εκλεγούν για τις τρεις θέσεις σκεπτόμαστε ως εξής: Η διαδικασία εκλογής μπορεί να χωριστεί σε τρεις φάσεις: 1η φάση εκλογή προέδρου, 2η φάση εκλογή γραμματέα και 3η φάση εκλογή ταμία. Η 1η φάση μπορεί να γίνει με 5 τρόπους, όσα είναι και τα μέλη της επιτροπής. Η 2η φάση μπορεί να γίνει με 4 τρόπους, όσα είναι και τα μέλη της επιτροπής που απέμειναν ύστερα από την εκλογή του προέδρου. Η 3η φάση μπορεί να γίνει με 3 τρόπους, όσα είναι και τα μέλη της επιτροπής που απέμειναν ύστερα και από την εκλογή του ταμία. Επομένως, σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης, το πλήθος των διαφορετικών δυνατών τριάδων είναι [pic]. Καθεμιά από τις παραπάνω τριάδες λέγεται διάταξη των 5 ανά 3.

Γενικά: Διάταξη των ν στοιχείων ενός συνόλου Α ανά κ, με κ(ν, λέγεται καθένας από τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε κ διαφορετικά στοιχεία του Α και να τα βάλουμε σε μια σειρά. Το πλήθος των διατάξεων των ν ανά κ συμβολίζεται με [pic] και αν εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, βρίσκουμε ότι: [pic] (1) Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό δύο διατάξεις των ν ανά κ είναι διαφορετικές αν διαφέρουν ως προς ένα τουλάχιστον στοιχείο ή ως προς τη θέση που κατέχουν τα στοιχεία. Για παράδειγμα, οι διατάξεις (1, 2, 3), (1, 4, 3) και (3, 2, 1) είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Στην περίπτωση που πάρουμε και τα ν στοιχεία ενός συνόλου Α και τα βάλουμε σε μια σειρά, τότε έχουμε μια διάταξη των ν στοιχείων ανά ν η οποία λέγεται μετάθεση των ν στοιχείων. Το πλήθος [pic] των μεταθέσεων των ν στοιχείων συμβολίζεται με [pic] και σύμφωνα με τον τύπο (1) είναι [pic]. Το γινόμενο [pic] συμβολίζεται με ν! και διαβάζεται ν παραγοντικό. Επομένως [pic] (2) Έτσι, αν στο προηγούμενο παράδειγμα θέλουμε να βάλουμε τους 5 μαθητές σε μια σειρά, τότε υπάρχουν [pic] διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούμε να τους τοποθετήσουμε Αν χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο του παραγοντικού για να εκφράσουμε το πλήθος των διατάξεων των ν ανά κ με [pic] έχουμε: [pic] [pic] [pic]. Επομένως [pic] (3) Αν τώρα θέλουμε ο τύπος (3) να ισχύει και για [pic], επειδή [pic], πρέπει [pic]. Είναι λοιπόν λογικό να ορίσουμε 0!=1.