Στιγμιαία Ταχύτητα

Όπως έχει διαπιστωθεί πειραματικά από τον Γαλιλαίο πριν από τέσσερις αιώνες, το διάστημα S που διανύεται σε χρόνο t sec (s) από ένα σώμα που αφήνεται να πέσει στο κενό εκφράζεται από τον τύπο [pic], όπου [pic] είναι η σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας. Ποια όμως θα είναι η ταχύτητα ενός σώματος που πέφτει ελεύθερα σε ένα οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς του, για παράδειγμα όταν [pic] s; Μπορούμε να προσεγγίσουμε το ζητούμενο μέγεθος υπολογίζοντας τη μέση ταχύτητα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα για παράδειγμα του ενός δεκάτου του δευτερολέπτου, από [pic] στο [pic]. Έχουμε: [pic] [pic]. Ο πίνακας που ακολουθεί δείχνει τα αποτελέσματα όμοιων υπολογισμών της μέσης ταχύτητας για ολοένα και μικρότερα χρονικά διαστήματα.

|Χρονικό διάστημα |Μέση ταχύτητα | | [pic]| | | |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | [pic]

Φαίνεται ότι καθώς μικραίνει το χρονικό διάστημα, η μέση ταχύτητα πλησιάζει ολοένα και περισσότερο στην τιμή 49,05 m/s. Η οριακή αυτή τιμή των μέσων ταχυτήτων σε ολοένα και μικρότερα χρονικά διαστήματα με ένα άκρο το [pic] ορίζεται ως η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος όταν [pic]. Έτσι η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος ύστερα από χρόνο 5 s θα είναι [pic]. Γενικότερα, ας υποθέσουμε ότι το σώμα ύστερα από [pic] βρίσκεται στο σημείο Α και ας εξετάσουμε πόσο αυξάνεται το διανυόμενο διάστημα, όταν ο χρόνος αυξηθεί κατά [pic]. Το κινητό διανύει σε χρόνο [pic] διάστημα [pic] και σε χρόνο [pic] διάστημα [pic]. Άρα, η αύξηση του διαστήματος σε χρόνο h είναι [pic] και η μέση ταχύτητα στο χρονικό διάστημα από [pic] σε [pic] θα είναι [pic]. Καθώς όμως ελαττώνεται το h πλησιάζοντας το μηδέν, χωρίς ποτέ να γίνεται ίσο με το μηδέν, η μέση ταχύτητα θα πλησιάζει όλο και περισσότερο στο [pic]. Την οριακή αυτή τιμή τη λέμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού στη χρονική στιγμή [pic] ή απλώς ταχύτητα του κινητού στο [pic]. Επομένως, η ταχύτητα υ του κινητού τη χρονική στιγμή [pic] θα είναι [pic]. Προφανώς όταν [pic], τότε [pic], τιμή την οποία προσεγγίσαμε και προηγουμένως με αριθμητικούς υπολογισμούς. Την ίδια πορεία μπορούμε να ακολουθήσουμε και για τον υπολογισμό της ταχύτητας ενός κινητού το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση, στη γενικότερη περίπτωση που η τετμημένη του ή, όπως λέμε στη Φυσική, η θέση του τη χρονική στιγμή t εκφράζεται από τη συνάρτηση [pic]. [pic] Για να βρούμε την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή [pic], θεωρούμε το χρονικό διάστημα από [pic] έως [pic] με [pic]. Το κινητό σε χρόνο h μετατοπίζεται κατά [pic]. Επομένως, η μέση ταχύτητα του κινητού στη διάρκεια του χρονικού διαστήματος h θα είναι [pic]. Αν σκεφτούμε όπως στην προηγούμενη ειδική περίπτωση, συμπεραίνουμε ότι η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή [pic] θα είναι [pic]. Δηλαδή θα είναι το όριο του λόγου της μεταβολής της τετμημένης του κινητού προς την αύξηση του χρόνου, καθώς η τελευταία τείνει προς το μηδέν χωρίς στην πραγματικότητα να γίνεται ίση με το μηδέν.