1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

Όριο και διάταξη Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα. ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο Αν [pic], τότε [pic] κοντά στο [pic] (Σχ. 48α) Αν [pic], τότε [pic] κοντά στο [pic] (Σχ. 48β) [pic] [pic] ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο Αν οι συναρτήσεις [pic] έχουν όριο στο [pic] και ισχύει [pic] κοντά στο [pic], τότε [pic] [pic] [pic]

Όρια και πράξεις Τα δύο βασικά όρια [pic], [pic] και το θεώρημα που ακολουθεί διευκολύνουν τον υπολογισμό των ορίων. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο [pic], τότε: 1. [pic] 2. [pic], για κάθε σταθερά [pic] 3. [pic] 4. [pic], εφόσον [pic] 5. [pic] 6. [pic], εφόσον [pic] κοντά στο [pic]. Οι ιδιότητες 1 και 3 του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις. Άμεση συνέπεια αυτού είναι:

|[pic], [pic] |

Για παράδειγμα,

|[pic]. |

- Έστω τώρα το πολυώνυμο [pic] και [pic]. Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε: [pic] [pic] [pic] [pic]. Επομένως,

|[pic]. |

Για παράδειγμα, [pic]. - Έστω η ρητή συνάρτηση [pic], όπου [pic], [pic] πολυώνυμα του x και [pic] με [pic]. Τότε, [pic]. Επομένως,

|[pic], εφόσον [pic] |

Για παράδειγμα, [pic].

ΣΧΟΛΙΟ Όταν [pic], τότε δεν εφαρμόζεται η ιδιότητα 4 του παραπάνω θεωρήματος. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε όπως στην εφαρμογή 1 ii), που ακολουθεί.