Παύλος Μελάς και Καλλικράτεια έμειναν στο 0-0.

Ο τρόμος είναι κάλτ

1.7 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Ο ΕΘΝΙΚΟΣ ΑΞΙΟΥΠΟΛΗΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣΕ ΤΟΝ ΠΡΩΤΟΠΟΡΟ ΠΑΟΝΕ

ΧΑΡΗ ΠΟΝΤΙΔΑ

Εισαγωγή

Ήταν άξιοι

Το New York Times Book Review το χαρακτήρισε «ξέφρενο πολυεπίπεδο, κλιμακούμενο εφιάλτη», ενώ το Publishers Weekly είπε ότι είναι από τα πιο σύνθετα, σε δομή και περιεχόμενο, μυθιστορήματα του Στίβεν Κινγκ.

Στην προηγούμενη παράγραφο περιγράψαμε μια μέθοδο με την οποία μπορούμε να βρίσκουμε τη λύση ενός γραμμικού συστήματος.

Τη μοναξιά της κορυφής συνεχίζει να απολαμβάνει ο ΠΑΟΝΕ μετά και τα αποτελέσματα της 19ης αγωνιστικής. Πρόκειται για το πρόσφατο βιβλίο του «Η ονειροπαγίδα» (Bell) που μεταφέρθηκε και στον κινηματογράφο από τον Λόρενς Κάζνταν.

Όμως, όπως έχουμε δει στα γραμμικά συστήματα με δύο αγνώστους, είναι χρήσιμο να έχουμε και έναν τύπο, ο οποίος να εκφράζει τις λύσεις ενός γραμμικού συστήματος ως συνάρτηση των συντελεστών του.

Η ομάδα των Νέων Επιβατών αν και στραβοπάτησε στην Αξιούπολη (1-1), διατηρεί την απόσταση ασφαλείας των τεσσάρων βαθμών από τους διώκτες της. Στην Ελλάδα ο Στίβεν Κινγκ έχει ένα φανατικό και διαρκώς αυξανόμενο κοινό, που δεν άργησε να… ρουφήξει από τα ράφια και αυτό το βιβλίο:

Οι τύποι που θα βρούμε γενικεύουν τους τύπους που ήδη ξέρουμε για την περίπτωση ενός γραμμικού συστήματος [pic].

Ο Ορφέας Σουρωτής που "καίγεται" για βαθμούς, εκμεταλλεύτηκε το πλεονέκτημα της έδρας και απέσπασε την ισοπαλία από τη Σίνδο, ενώ αίσθηση προκάλεσε η ήττα του Μακεδονικού στα Γιαννιτσά.

Από τον περασμένο Απρίλιο μέχρι τον Νοέμβριο του 2002 «Η ονειροπαγίδα» πούλησε πάνω από 22.000 αντίτυπα και αυτήν τη στιγμή και να θέλετε δεν θα την βρείτε.

Θα προχωρήσουμε στην αναζήτηση ενός τέτοιου τύπου που τα εργαλεία για την ανεύρεσή του είναι οι ορίζουσες.

Επιμέλεια ΜΑΡΙΑ ΜΠΕΛΛΟΥ

Όπως μας διαβεβαίωσαν όμως από τις Εκδόσεις Bell που εκδίδουν αποκλειστικά εδώ και χρόνια κάθε νέο του τίτλο - συνολικά έχουν δεκαέξι - το μυθιστόρημα θα επανεκδοθεί για να προλάβει και την προβολή της ταινίας στους κινηματογράφους στα τέλη Μαρτίου.

Ορίζουσα ενός [pic] πίνακα

2ος ΟΜΙΛΟΣ

Όχι ότι δεν ήταν αναμενόμενες οι πωλήσεις της «Ονειροπαγίδας»:

Έστω ο [pic] πίνακας [pic].

ΠΑΟ ΚΟΥΦΑΛΙΩΝ 0

Κάθε νέο βιβλίο του Κινγκ στην Ελλάδα σπάει σταθερά το φράγμα των 20.000 αντιτύπων, με αποτέλεσμα και οι 16 εκδόσεις να ξεπερνούν τα 500.000 αντίτυπα.

Ο αριθμός [pic] λέγεται ορίζουσα του πίνακα Α και συμβολίζεται με [pic] ή με [pic].

ΑΠΟΛΛΩΝ ΚΡ. ΒΡΥΣΗΣ 0

Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι οι «Νυχτερίδες» έχουν πουλήσει μέχρι σήμερα 35.000 αντίτυπα, τα «Χρήσιμα αντικείμενα» 31.000, το «Πρόσωπο του φόβου» 26.000, το «Πράσινο μίλι» 29.000.

Δηλαδή, [pic].

ΔΙΑΙΤΗΤΗΣ: Κύζας (Δράμας).

Επειδή η ορίζουσα αυτή αντιστοιχεί σε έναν [pic] πίνακα, λέγεται ορίζουσα 2ης τάξης.

ΠΑΟ ΚΟΥΦΑΛΙΩΝ: Ντιμτσιούδης, Νικολαΐδης, Ναλμπαντίδης, Φλωρίδης, Μπαλάσκας, Φραγκάκης, Τανταλίδης, Μπουλούκας, Γκέρτσος, Τσαλόνης (90' Τουλούπης), Στεργίδης (60' Παπάκης).

Για παράδειγμα, η ορίζουσα - του πίνακα [pic] είναι [pic] - του πίνακα [pic] είναι [pic] - του πίνακα [pic] είναι [pic].

ΑΠΟΛΛΩΝ ΚΡ. ΒΡΥΣΗΣ: Χ. Παπαδόπουλος, Τσιότσιος, Τζαβάρας (90' Βαγιάτης), Φοροζίδης, Καλαϊτζής, Στάρχος, Πήχας, Πετρίδης (60' Χαντούρης), Κοτσανίδης, Σ. Παπαδόπουλος (75' Νήρας), Τσιρακίδης.

Ορίζουσα ενός [pic] πίνακα

ΝΙΚΗ ΠΟΛΥΓΥΡΟΥ 1

Η ορίζουσα ενός [pic] πίνακα ορίζεται με την βοήθεια της ορίζουσας 2ης τάξης ως εξής:

ΤΡΙΓΛΙΑ 0

Έστω ο [pic] πίνακας [pic].

ΔΙΑΙΤΗΤΗΣ: Κεμεντσετσίδης (Κιλκίς).

Ο αριθμός [pic] λέγεται ορίζουσα του πίνακα Α και συμβολίζεται με [pic] ή με [pic].

ΣΚΟΡΕΡ: 33' Στεφανίδης.

Δηλαδή [pic].

ΝΙΚΗ ΠΟΛΥΓΥΡΟΥ: Σκιαθίτης, Βούλγαρης, Αλεξόπουλος, Συρόπουλος, Πάτκος, Σερέτης, Κάρτας, Παπαδητρίου, Ναλμπάντης (66' Περάκης), Πανταζίδης (79' Αστεριάδης), Χαρέλης (57' Σιγάτης).

(1)

ΤΡΙΓΛΙΑ: Πετράκης, Μπίλης, Αλβανός, Γεωργαντάς, Καλπάκης (85' Στεφανίδης), Μπούρκας, Α. Μαρτινέος, Κουκουράκης (79' Αθ. Μαρτινέος), Κίκας, Παναγιώτοπουλος, Τσούτσης (68' Τσομπανάκης).

Επειδή η ορίζουσα αυτή αντιστοιχεί σε έναν [pic] πίνακα, λέγεται ορίζουσα 3ης τάξης.

ΑΛΜΩΠΟΣ ΑΡΙΔΑΙΑΣ 1

Για παράδειγμα, αν [pic], τότε [pic]

ΑΕ ΚΡΗΝΗΣ 0

Η παράσταση (1) με την οποία ορίζεται η [pic] λέγεται ανάπτυγμα της [pic] ως προς τα στοιχεία της πρώτης γραμμής.

ΔΙΑΙΤΗΤΗΣ: Φραγκάκης (Καβάλας).

Με εκτέλεση των πράξεων στο ανάπτυγμα αυτό έχουμε: [pic] [pic] [pic] (2)

ΣΚΟΡΕΡ: 86' Στεφανίδης.

Η παράσταση (2) λέγεται ανάπτυγμα της [pic] ως προς τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής.

ΑΛΜΩΠΟΣ ΑΡΙΔΑΙΑΣ: Χρήστου, Μιχαηλίδης, Χατζησημαιών, Τσιλιγιάννης (67' Γυφτόπουλος), Μπογδάνης, Ιωαννίδης, Χουλουηλίδης, Στεφανίδης, Κουτσογιάννης (61' Νικολαΐδης), Κέντης (46' Συλλέκτης), Μαυρογιαννίδης.

Ομοίως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ισχύει και [pic], (3) που λέγεται ανάπτυγμα [pic] ως προς τα στοιχεία της τρίτης γραμμής.

ΑΕ ΚΡΗΝΗΣ: Γιαγιάς, Ζίζικας (55' Σαρηγιαννίδης), Ιωαννίδης, Δούμας, Βαρυπάτης, Αυγέρης, Τσιραμπίδης, Χατζηαγγελάκης, Καλοψυχάκης (67' Μασμανίδης), Παππάς (77' Καλοπέτσας), Κούης.

Παρατηρούμε ότι σε καθένα από τα αναπτύγματα της [pic], κάθε στοιχείο [pic] της αντίστοιχης γραμμής πολλαπλασιάζεται με την ορίζουσα 2ης τάξης του πίνακα που προκύπτει από τον Α, αν παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου [pic].

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ Ν. ΓΩΝΙΑΣ 1

Η ορίζουσα αυτή λέγεται ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου [pic] και συμβολίζεται με [pic].

ΑΕΤΟΣ ΣΚΥΔΡΑΣ 4

Παρατηρούμε επίσης ότι κάθε όρος ενός αναπτύγματος της [pic] έχει πρόσημο + ή -, ίδιο με το πρόσημο του [pic].

ΔΙΑΙΤΗΤΗΣ: Τσαφκόπουλος (Φλώρινας).

Το γινόμενο [pic] λέγεται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου [pic] και συμβολίζεται με [pic].

ΣΚΟΡΕΡ: 18', 25' Αργυρόπουλος, 28' Κουρκούδιαλος, 68' Λεκάκης, 72' Ινεμπολίδης.

Δηλαδή [pic].

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ Ν. ΓΩΝΙΑΣ: Μπέλλος, Παπαδόπουλος (63' Παυλίδης), Κουρκούδιαλος, Ματιανούδης, Καρύπογλου, Τσαμασλίδης (75' Μανίκας), Βαβίλης, Σαρρής (80' Ζαμπούρης), Λιονταράς, Ναλμπάντης, Δημητριάδης.

Με τους συμβολισμούς αυτούς τα αναπτύγματα (1), (2) και (3) γράφονται: [pic] [pic] [pic].

ΑΕΤΟΣ ΣΚΥΔΡΑΣ: Φυτανίδης, Πιπιλής, Ανδρεάδης, Α. Ντίσιος (83' Καραφουλίδης), Βαλβίρ, Ε. Ντίσιος, Γιαννουσίδης (75' Κυργελίδης), Δούμος, Λεκάκης (78' Γκέλης), Αργυρόπουλος, Ινεμπολίδης.

Mε εκτέλεση των πράξεων προκύπτουν [pic] [pic] [pic] που είναι ανάπτυγμα της [pic] ως προς τα στοιχεία της 1ης, της 2ης και της 3ης στήλης αντιστοίχως.

ΠΑΥΛΟΣ ΜΕΛΑΣ 0

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Ν. ΚΑΛΛΙΚΡΑΤΕΙΑ 0

Στην πράξη το ανάπτυγμα που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό μιας ορίζουσας είναι ως προς τη γραμμή ή στήλη που έχει τα περισσότερα μηδενικά.

ΔΙΑΙΤΗΤΗΣ: Καραντώνης (Σερρών).

Για παράδειγμα, αν [pic], τότε [pic].

Δοκάρι είχε ο Σιναΐδης (80'), ενώ αποβλήθηκε ο Α. Παπαδόπουλος (89').

Ορίζουσα ενός [pic] πίνακα

ΠΑΥΛΟΣ ΜΕΛΑΣ: Τσιμπούκας, Σιναΐδης, Αμοιρίδης (80' Παυλίδης), Πεχλιβλάνης, Χ. Παπαδόπουλος, Λαζαρίδης, Σκόρδας, Σκολούδης (65' Σαμανίδης), Καδόγλου, Λ. Παπαδόπουλος, Στράντζαλης (90' Κουζάνης)

Ορίσαμε μέχρι τώρα την ορίζουσα ενός [pic] πίνακα και με τη βοήθειά της την ορίζουσα ενός [pic] πίνακα.

Ν. ΚΑΛΛΙΚΡΑΤΕΙΑ: Αναγνωστόπουλος, Γρουμπουσιάνης (60' Καραγιάννης), Τζήκας (89' Τσαγκαλίδης), Αμανατίδης, Σούφης, Α. Παπαδόπουλος, Θεοδωρίδης, Σκοτίδας, Νικολάου, Πετκάκης, Νάσης (82' Λιάμπας).

Ορίζουμε επίσης ως ορίζουσα ενός πίνακα με ένα στοιχείο [pic], να είναι το ίδιο το στοιχείο.

ΟΡΦΕΑΣ ΣΟΥΡΩΤΗΣ 1

Γενικά, μπορούμε να ορίσουμε την ορίζουσα ν τάξης [pic] με τη βοήθεια του ορισμού της ορίζουσας [pic] τάξης.

ΟΜΟΝΟΙΑ ΣΙΝΔΟΥ 1

Ένας τέτοιος ορισμός λέγεται επαγωγικός..

ΔΙΑΙΤΗΤΗΣ: Τσεσμετζής (Σερρών).

Συγκεκριμένα, έστω ο [pic] πίνακας [pic].

ΣΚΟΡΕΡ: 25' Χατζαρίδης, 90' Ζαρογιάννης.

Ονομάζουμε ορίζουσα του πίνακα Α και τη συμβολίζουμε με [pic] ή [pic] τον αριθμό |[pic] | όπου [pic] και [pic], η [pic] τάξης ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Α, αν παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου [pic].

ΟΡΦΕΑΣ ΣΟΥΡΩΤΗΣ: Καραβέλης, Ιγνατιάδης, Τριανταφυλόπουλος, Μπεσδεμιώτης, Ματέρης (87' Παπαδούκας), Γκαϊτατζόπουλος, Φοινικόπουλος, Ριζόπουλος (61' Σφονδύλας), Τεστέμπασης, Σαββίδης, Ζαρογιάννης.

Όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, η ορίζουσα [pic] λέγεται ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου [pic] και το γινόμενο [pic] λέγεται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου [pic].

ΟΜΟΝΟΙΑ ΣΙΝΔΟΥ: Κοτσιάς, Μωυσιάδης, Φυντανίδης, Παρλάκογλου, Τσομπανάκης, Χατζαρίδης (75' Πασχαλίδης), Χαλβατζής, Αναστασόπουλος, Παππάς (68' Ρακαδήνας), Μπενίσκος (68' Μπενίσκος), Τζεβελέκης.

Η παράσταση [pic] με την οποία ορίσαμε την [pic] λέγεται, όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία της 1ης γραμμής.

ΕΘΝΙΚΟΣ ΑΞΙΟΥΠΟΛΗΣ 1

Αποδεικνύεται το επόμενο θεώρημα:

ΠΑΟΝΕ 1

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΔΙΑΙΤΗΤΗΣ: Δροσινός (Χαλκιδικής).

Για οποιαδήποτε γραμμή [pic] ή στήλη j ενός [pic] πίνακα Α ισχύει: (α) [pic] και (β) [pic]

ΣΚΟΡΕΡ: 39' Ιακωβίδης, 89' Μαλιούφας.

Η παράσταση (α) λέγεται ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της [pic] γραμμής, ενώ η (β) ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της j στήλης.

ΕΘΝΙΚΟΣ ΑΞΙΟΥΠΟΛΗΣ: Τσόνογλου, Τερζής, Αλεξίου, Μπογιατζής, Καλπάκης, Κελεμπέσης, Δημητριάδης, Πόδας, Γρηγοριάδης (77' Πολατίδης), Ιακωβίδης (73' Παντικίδης), Φιλιππίδης.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

ΠΑΟΝΕ: Καντέρης, Ασλανίδης (27' λ.τ. Μποχόνης), Λουλάς (49' λ.τ. Νάτσης), Τζημογιάννης, Αραμπατζής, Κουτσίδης, Χατζηστεργίου, Λαγός (54' Σαμόλης), Μαλιούφας, Κεφαλάς, Μπούλης.

1) Είναι φανερό ότι αν τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης ενός πίνακα Α είναι όλα μηδέν, τότε [pic].

ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ 1

2) Αν ένας πίνακας είναι τριγωνικός άνω ή κάτω, τότε αποδεικνύεται ότι η ορίζουσά του είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου.

ΜΑΚΕΔΟΝΙΚΟΣ 0

Για παράδειγμα [pic].

Δοκάρι είχε ο Φάβας (57').

3) Αποδεικνύεται επίσης ότι, αν δύο γραμμές (δύο στήλες) ενός πίνακα είναι ίσες ή ανάλογες, τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με μηδέν.

ΔΙΑΙΤΗΤΗΣ: Χαραλαμπίδης (Καβάλας).

Για παράδειγμα, [pic], αφού [pic].

ΣΚΟΡΕΡ: 57' Κουτρογιάννης. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ: Διαμαντίδης, Κουτρογιάννης, Ν. Ιορδανίδης, Φάβας, Χαραλαμπίδης, Ντιμτσούδης, Παπαδόπουλος (50' Πεχλιβάνης), Καραμεταξάς, Σαχινίδης, Γ. Ιορδανίδης (85' Μαρίνης), Κηλίκης (70' Ουζούνης). ΜΑΚΕΔΟΝΙΚΟΣ: Αναστασιάδης, Νικολούδης, Κελεσίδης, Βέργης, Νούσιας, Βλασακίδης (87' Ανδρουλάκης), Θωμαΐδης, Στόικος, Δησομητζόγλου, Μάντσος (80' Θέμελης), Κύρτσος.