Δύο αγώνες, δύο ημέρες, δύο μεταδόσεις

ΜΑΓΕΜΕΝΟΙ ΟΙ ΟΠΑΔΟΙ ΤΟΥ ΠΑΟ ΑΠΟ ΤΗΝ ΞΕΦΡΕΝΗ ΠΟΡΕΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ

1.6 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΤΟΥ GAUSS

Ενα την ημέρα

Φέρτε το τρόπαιο!

Αποδεικνύεται ότι, αν σε ένα γραμμικό σύστημα εφαρμόσουμε μια από τις επόμενες διαδικασίες, τότε προκύπτει ισοδύναμο σύστημα: - Εναλλαγή της θέσης δύο εξισώσεων - Πολλαπλασιασμός των μελών μιας εξίσωσης με ένα μη μηδενικό αριθμό. - Πρόσθεση των μελών μιας εξίσωσης (πολλαπλασιασμένων με έναν αριθμό) στα μέλη μιας άλλης.

Η ΝΕΤ ακολουθεί την αποστολή της Εθνικής ομάδας στο τουρνουά της Κύπρου, καλύπτοντας τηλεοπτικά και τα δύο φιλικά των πρωταθλητών Ευρώπης στη Μεγαλόνησο.

Μαρκαριάν: Μπορούμε να αποκλείσουμε την Πόρτο. Το παιχνίδι με την Άντερλεχτ δεν ήταν πιο δύσκολο απ' ό,τι περίμενα

Έτσι, όταν έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα προσπαθούμε, εφαρμόζοντας τις προηγούμενες διαδικασίες, να το μετασχηματίσουμε σε ένα άλλο ισοδύναμο σύστημα του οποίου η λύση να είναι προφανής.

Σήμερα, στις 7 το απόγευμα, εναντίον της Λευκορωσίας και αύριο την ίδια ώρα κόντρα στον νικητή του αγώνα Φινλανδίας - Καζακστάν.

ΠΑΤΡΟΚΛΟΣ ΠΑΝΑΝΙΔΗΣ

Ας δούμε τώρα με ένα παράδειγμα πως εφαρμόζονται και πως συμβολίζονται οι τρεις αυτές διαδικασίες.

Στην περιγραφή των αγώνων ο Μιχάλης Τσώχος.

Συγκλονιστική η παρουσία των οπαδών του Παναθηναϊκού στις εξέδρες του «Κονστάντ Βαντέν Στοκ», οι οποίοι δεν σταμάτησαν λεπτό να εμψυχώνουν την ομάδα

Έστω το γραμμικό σύστημα [pic] [pic] [pic]

ΑΥΡΙΟ όμως, η ΝΕΤ θα έχει ισχυρό αντίπαλο, καθώς ο Alpha έκλεισε και θα δείξει απευθείας στις 6 το απόγευμα το φιλικό της Ρωσίας με τη Βραζιλία. Από την κόλαση στον παράδεισο βρέθηκαν οι παίκτες του Παναθηναϊκού προχθές εναντίον της Άντερλεχτ, παίρνοντας επεισοδιακή πρόκριση.

- Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της 1ης εξίσωσης [pic] του [pic] με [pic] και τα προσθέτουμε στα αντίστοιχα μέλη της 2ης εξίσωσης [pic] του [pic].

Ο ΜΑΡΤΙΟΣ πάντως, είναι μήνας στίβου για την κρατική τηλεόραση με την ΕΤ1 να καλύπτει τόσο το ευρωπαϊκό πρωτάθλημα κλειστού στίβου, που ξεκινάει την Κυριακή στο Λιεβάν της Γαλλίας, όσο και το αντίστοιχο παγκόσμιο πρωτάθλημα, που θα διεξαχθεί 10-12 του μηνός στη Μόσχα.

Και αυτό το είχε αντιληφθεί σύσσωμη η ομάδα κατά την πτήση της επιστροφής στην Αθήνα, όπου τα χαμόγελα για την είσοδο στις 8 καλύτερες ομάδες του Κυπέλλου ΟΥΕΦΑ δεν ήταν ανάλογα της επιτυχίας.

Έτσι, απαλείφεται από την [pic] ο άγνωστος x. [pic]

Την περιγραφή και τον σχολιασμό θα κάνουν οι Νίκος Αντωνιάδης, Γιάννης Θεοδωρακόπουλος και Νίκος Τσώνης.

Βλέπετε, μια τέτοια νύχτα-θρίλερ δύσκολα θα μπορούσε να ξεχαστεί και μάλιστα μέσα σε λίγες ώρες.

- Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της [pic] του [pic]με [pic] και τα προσθέτουμε στα μέλη της [pic]. ΄Ετσι, απαλείφεται από την [pic] ο άγνωστος x. [pic]

ΔΕΝ ΤΟ ΛΕΝΕ επίσημα, αλλά το Ολ σταρ γκέιμ δεν είχε παράταση, καθώς η ΕΤ1 έπρεπε να μεταδώσει αμέσως τους Χειμερινούς Ολυμπιακού Αγώνες.

Οι περισσότεροι ποδοσφαιριστές του ΠΑΟ ήταν σχεδόν αμίλητοι στην επιστροφή, ενώ άλλοι απέφυγαν να πάρουν μέρος σε διάφορα πηγαδάκια και προτίμησαν να γείρουν το κεφάλι τους και να κοιμηθούν.

- Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της [pic] του [pic]με [pic].

ΟΠΩΣ ΚΑΙ να 'χει, από άποψη τηλεθέασης οι φίλαθλοι δεν τίμησαν τη γιορτή του μπάσκετ.

Άλλωστε η ώρα ήταν περασμένη και η κόπωση μεγάλη.

Έτσι, ο συντελεστής του y γίνεται 1.

Το σαββατοκύριακο άλλωστε, δεν ήταν το καλύτερο δυνατό για τα αθλητικά προγράμματα, καθώς μόνο το "Παίξτε Μπάλα" κατάφερε να μπει στη δεκάδα της AGB (δέκατη θέση την Κυριακή).

Όσοι είχαν τη διάθεση για συζητήσεις μικρής διάρκειας σχολίαζαν τις επίμαχες φάσεις του αγώνα και στο πρόσωπό τους φαινόταν καθαρά μια έκπληξη από την έκβαση της συνάντησης.

Συνεχίζουμε εφαρμόζοντας τις παραπάνω διαδικασίες που παριστάνουμε πλέον μόνο συμβολικά: [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Την εκπομπή του Alpha είδαν 569.000 άτομα έχοντας ποσοστό 6,2% και μερίδιο 12,4%.

Πάντως, για να μην αναφέρουμε μόνο την… τρομακτική πλευρά της νύχτας των Βρυξελλών, η συγκλονιστική παρουσία (ίσως περισσότερο από κάθε άλλη φορά σε ευρωπαϊκό παιχνίδι) των οπαδών του Παναθηναϊκού στις εξέδρες του «Κονστάντ Βαντέν Στοκ», οι οποίοι δεν σταμάτησαν λεπτό να εμψυχώνουν την ομάδα και παράλληλα να «απαιτούν» τουλάχιστον είσοδο στον τελικό της διοργάνωσης, έχει μετατρέψει την κατάκτηση του πολύτιμου τροπαίου στο μυαλό των παικτών της ομάδας ως έμμονη ιδέα!

Επειδή το σύστημα [pic] είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα [pic], συμπεραίνουμε ότι η λύση του συστήματος είναι η τριάδα [pic].

ΤΙ ΣΟΥ κάνει μία λίστα!

ΤΗΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΝ

Μπορούμε να περιγράψουμε απλούστερα τη διαδικασία επίλυσης ενός [pic] γραμμικού συστήματος, αν σκεφτούμε ως εξής:

Στην προκειμένη περίπτωση, η λίστα των 1.200 της Κανέλλη. Δεν ήταν λίγοι αυτοί που έκαναν σχέδια και για τη Σεβίλλη.

Αφού κάθε εξίσωση παριστάνεται με μια γραμμή του επαυξημένου πίνακα, αρκεί οι παραπάνω μετατροπές των εξισώσεων να γίνονται στις γραμμές [pic] του επαυξημένου πίνακα.

Εξαντλήθηκε το σαββατοκύριακο η εβδομαδιαία εφημερίδα που τόλμησε να τη δημοσιεύσει. Βέβαια προέχει η ισχυρή αλλά γνώριμη Πόρτο, που όλοι γνωρίζουν ότι σαφώς θα δυσκολέψει το έργο των «πρασίνων» για την είσοδο στον ημιτελικό.

Οι μετατροπές αυτές λέγονται γραμμοπράξεις και είναι οι εξής:

Και λέμε "τόλμησε" διότι η συγκεκριμένη λίστα πολύ πριν φτάσει στα χέρια της Κανέλλη περιφερόταν από τον Οκτώβριο στα δημοσιογραφικά γραφεία.

Ο προπονητής του Παναθηναϊκού, κατά τη διάρκεια της πτήσης, έλεγε σε διάφορα πηγαδάκια: «Μπορούμε να την αποκλείσουμε την Πόρτο.

Γραμμοπράξη - Συμβολισμός

Τ.ΚΟΥΡΚ

Το παιχνίδι με την Άντερλεχτ δεν ήταν πιο δύσκολο απ' ό,τι περίμενα.

1. Εναλλαγή της θέσης δύο γραμμών [pic]

Από την αρχή είχα πει ότι θα έχουμε δυσκολίες, αφού η Άντερλεχτ είναι πολύ καλή ομάδα από τη μέση και μπροστά και έχει πολλούς καλούς παίκτες.

2. Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με ένα μη μηδενικό αριθμό [pic], [pic]

Είχαμε δυσκολίες με τις απουσίες των Χένρικσεν και Κόλκα, ενώ είχαμε και κουρασμένους παίκτες και αυτή η κούραση μας δημιουργεί πρόβλημα.

3. Πρόσθεση των στοιχείων μιας γραμμής, πολλαπλασιασμένων με έναν αριθμό, στα [pic] αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής.

Ο Παναθηναϊκός δεν έκανε το παιχνίδι που ήθελε.

Όταν έχουμε δύο πίνακες Α, Β που ο ένας προκύπτει από τον άλλο με γραμμοπράξεις, τότε οι πίνακες αυτοί λέγονται γραμμοϊσοδύναμοι ή απλώς ισοδύναμοι και γράφουμε [pic].

Υπήρξαν πολλές δυσκολίες από τη στιγμή που αποβλήθηκε ο Βόκολος.

Είναι προφανές ότι, αν οι επαυξημένοι πίνακες δύο συστημάτων είναι ισοδύναμοι, τότε και τα συστήματα είναι ισοδύναμα, αφού καθεμιά γραμμοπράξη ξεχωριστά οδηγεί σε σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό.

Όσο ήμασταν 11 εναντίον 11 δεν είχαμε πρόβλημα.

Έτσι, η επίλυση του προηγούμενου συστήματος μπορεί να γίνει ως εξής: [pic][pic][pic][pic] [pic][pic] [pic][pic] [pic][pic] [pic][pic] [pic][pic] [pic][pic] [pic].

Κοντρολάραμε το ρυθμό και είχαμε τον έλεγχο.

Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα [pic].

Ωστόσο μετά την αποβολή η Άντερλεχτ έπαιξε πιο ελεύθερα, μας πίεσε και δημιούργησε πολλά προβλήματα.

Επομένως, η λύση του συστήματος είναι η τριάδα [pic].

Πάντως εμείς προκριθήκαμε και είναι πολύ σημαντικό ότι για δεύτερη συνεχόμενη χρονιά είμαστε στα προημιτελικά ευρωπαϊκής διοργάνωσης».

Παρατηρούμε ότι ο τελευταίος πίνακας των συντελεστών των αγνώστων είναι ο μοναδιαίος [pic] πίνακας.

Στο μεταξύ, με πολλές αλλαγές στην ενδεκάδα θα παραταχθεί αύριο (Alpha, 16.

Έτσι μπορούμε να "διαβάσουμε" αμέσως τη λύση του συστήματος.

45)

Για να απλοποιήσουμε και να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη διαδικασία επίλυσης ενός συστήματος, πολλές φορές στο ίδιο βήμα εφαρμόζουμε περισσότερες από μία γραμμοπράξεις.

στη Λεωφόρο ο Παναθηναϊκός κόντρα στην ουραγό Παναχαϊκή.

Ας λύσουμε τώρα και το σύστημα [pic].

Με δεδομένες τις τιμωρίες αρκετών βασικών, την κόπωση που έχουν υποστεί, αλλά και την ευκολία της συνάντησης, ο 58χρονος τεχνικός θα χρησιμοποιήσει αρκετούς παίκτες που έχουν λίγα παιχνίδια στα πόδια τους.

Παίρνουμε τον επαυξημένο πίνακα και έχουμε διαδοχικά: [pic][pic] [pic][pic] [pic][pic] [pic][pic] [pic][pic][pic][pic]

Οι Κόλκα, Φύσσας, Λυμπερόπουλος και Καραγκούνης είναι τιμωρημένοι, ενώ δεν αποκλείεται ο Μαρκαριάν να ξεκουράσει τόσο τον Μίκαελσεν όσο και τον Γιούρκα Σεϊταρίδη.

[pic]

«Την Κυριακή μάς περιμένει άλλο ματς, μια άλλη ιστορία.

Έτσι το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα [pic].

Είναι ένας διαφορετικός αγώνας αυτός με την Παναχαϊκή και θα προσπαθήσουμε να τον ετοιμάσουμε με σοβαρότητα.

Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς έναν άγνωστο, π.χ. ως προς [pic] (αυτό μας διευκολύνει, αφού ο συντελεστής του αγνώστου αυτού είναι 1) και έχουμε [pic].

Οφείλουμε να είμαστε προσεκτικοί» είπε ο Μαρκαριάν.

Επειδή ο άγνωστος [pic] εκφράζεται ως συνάρτηση των [pic], αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να επιλέξουμε αυθαιρέτως τις τιμές των [pic].

Με τα εν λόγω δεδομένα, ο Παναθηναϊκός θα παραταχθεί αύριο με τους Νικοπολίδη, Πίτσο, Κυργιάκο, Γκούμα, Μπασινά, Σάριτς, Λίνκαρ, Σαπάνη, Κωνσταντινίδη, Ολιζαντέμπε και Κωνσταντίνου.

Δηλαδή, το γραμμικό σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων, τις διατεταγμένες πεντάδες [pic], όπου οι [pic] μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές. Π.χ. για [pic], [pic] έχουμε τη λύση [pic] του συστήματος. Ο τελευταίος από τους παραπάνω ισοδύναμους επαυξημένους πίνακες είναι, όπως λέμε, ένας ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας. Γενικά, δίνουμε τον επόμενο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ Ένας [pic] πίνακας λέγεται ανηγμένος κλιμακωτός(1) , αν ισχύουν συγχρόνως τα παρακάτω: α) Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές. β) Το πρώτο από αριστερά μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι το 1 και βρίσκεται δεξιότερα του αντίστοιχου 1 της προηγούμενης γραμμής. γ) Το πρώτο από αριστερά 1 κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι και το μόνο μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει.

(1) Ένας [pic] πίνακας λέγεται, απλώς, κλιμακωτός, αν α) Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές και β) Το πρώτο από τα αριστερά μη μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής βρίσκεται δεξιότερα από το αντίστοιχο στοιχείο της προηγούμενης γραμμής, χωρίς να είναι κατ’ ανάγκη ίσο με 1.

Έτσι π.χ. οι πίνακες [pic] [pic] [pic] είναι ανηγμένοι κλιμακωτοί, ενώ οι πίνακες [pic], [pic] δεν είναι ανηγμένοι κλιμακωτοί. Σχετικά με τους ανηγμένους κλιμακωτούς πίνακες ισχύει το παρακάτω θεώρημα.

ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε πίνακας μετατρέπεται σε ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα με την εκτέλεση ενός πεπερασμένου πλήθους γραμμοπράξεων. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό κάθε πίνακας είναι ισοδύναμος με έναν ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτός ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας είναι και μοναδικός. Ο παρακάτω αλγόριθμος μας δίνει μια μέθοδο με την οποία μπορούμε να βρίσκουμε κάθε φορά το μοναδικό αυτόν ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα.

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΒΗΜΑ 1ο: Βρίσκουμε την πρώτη στήλη του πίνακα που περιέχει μη μηδενικό στοιχείο. ΒΗΜΑ 2ο: Μεταφέρουμε στον πίνακα πρώτη τη γραμμή που περιέχει μη μηδενικό στοιχείο της στήλης (γραμμοπράξη 1). ΒΗΜΑ 3ο: Κάνουμε το μη μηδενικό στοιχείο της στήλης μονάδα (γραμμοπράξη 2). ΒΗΜΑ 4ο: Κάνουμε όλα τα στοιχεία της στήλης που είναι κάτω από τη μονάδα μηδενικά (γραμμοπράξη 3). ΒΗΜΑ 5ο: Αγνοούμε την πρώτη γραμμή του πίνακα και επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 έως 4 για τις επόμενες γραμμές του πίνακα. Αν όμως οι γραμμές που απέμειναν είναι μηδενικές, πηγαίνουμε στο 6ο βήμα. ΒΗΜΑ 6ο: Από γραμμή σε γραμμή χρησιμοποιώντας το πρώτο από αριστερά 1 κάθε γραμμής και τη γραμμοπράξη 3 κάνουμε μηδέν όλα τα στοιχεία της στήλης στην οποία βρίσκεται η μονάδα αυτή.

Ο παραπάνω αλγόριθμος, που ονομάζεται και αλγόριθμος του Gauss, ολοκληρώνεται όταν σε κάθε μη μηδενική γραμμή του πίνακα το πρώτο από αριστερά 1 είναι και το μόνο μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει. Έτσι για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα με τον αλγόριθμο του Gauss, μετατρέπουμε τον επαυξημένο πίνακά του σε έναν ισοδύναμο ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα. Για παράδειγμα, ας λύσουμε το σύστημα [pic]. Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος [pic] και έχουμε διαδοχικά: [pic] (βήμα 2ο) [pic] [pic] (βήμα 4ο) [pic] [pic] [pic] ([pic] βήμα 3ο) [pic] [pic] (βήμα 4ο) [pic] [pic] [pic] [pic] (βήμα 6ο) [pic] [pic] (βήμα 6ο) [pic]. Ο τελευταίος πίνακας είναι ανηγμένος κλιμακωτός και αντιστοιχεί στο σύστημα [pic] που είναι ισοδύναμο με το σύστημα [pic]. Επομένως, το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής [pic], [pic]. Ας λύσουμε τώρα και το σύστημα: [pic]. Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και έχουμε διαδοχικά: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic][pic] [pic]. Από την 3η γραμμή του τελευταίου πίνακα έχουμε ότι [pic] ή [pic], που σημαίνει ότι το σύστημα είναι αδύνατο. Γενικά, Αν κατά την επίλυση ενός συστήματος με τη βοήθεια του επαυξημένου πίνακα παρουσιαστεί μια γραμμή της μορφής [pic], με [pic], τότε το σύστημα είναι αδύνατο.

ΣΧΟΛΙΟ Από τα συστήματα που λύσαμε μέχρι τώρα, παρατηρούμε ότι, όσα από αυτά είναι συμβιβαστά, ή έχουν μία μοναδική λύση ή έχουν άπειρο πλήθος λύσεων. Δηλαδή, δεν εμφανίστηκε σύστημα που να έχει περισσότερες από μία αλλά πεπερασμένου πλήθους λύσεις. Αποδεικνύεται ότι αυτό ισχύει γενικά για τα γραμμικά συστήματα.