"Institute of Educational Policy" Books
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.
ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [pic]. Αν: - η f είναι συνεχής στο [pic] και - [pic] τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των [pic] και [pic] υπάρχει ένας, τουλάχιστον [pic] τέτοιος, ώστε [pic]
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι [pic]. Τότε θα ισχύει [pic] (Σχ. 67). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση [pic], [pic], παρατηρούμε ότι: [pic] - η g είναι συνεχής στο [pic] και - [pic], αφού [pic] και [pic]. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic], οπότε [pic]. [pic]
ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [pic], τότε, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές. - Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Η εικόνα [pic] ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. [pic] [pic] [pic] [pic] Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [pic], ισχύει το παρακάτω θεώρημα.