Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα

Πολλά από τα θεωρήματα της Ανάλυσης αναφέρονται σε συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς σε διαστήματα του πεδίου ορισμού τους. Είναι, επομένως, απαραίτητο να γνωρίζουμε τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα.

ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα [pic], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του [pic]. (Σχ. 63α) - Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [pic], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του [pic] και επιπλέον [pic] και [pic] (Σχ. 63β) [pic] [pic] Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής [pic], [pic]. Δυο βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε διαστήματα εκφράζονται από τα παρακάτω θεωρήματα: [pic]