"Institute of Educational Policy" Books

Search

Go
Show

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των πινάκων

- Αν [pic] είναι πραγματικοί αριθμοί και [pic] είναι πίνακες, τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι πράξεις που σημειώνονται. [pic] προσεταιριστική [pic] και [pic] επιμεριστική [pic] [pic]( Αν με [pic] συμβολίσουμε τον [pic] διαγώνιο πίνακα [pic] του οποίου κάθε στοιχείο της κυρίας διαγωνίου είναι ίσο με 1, τότε για κάθε τετραγωνικό [pic] πίνακα Α ισχύει:

|[pic] |

O πίνακας αυτός λέγεται μοναδιαίος πίνακας. Για παράδειγμα, οι πίνακες [pic], [pic] είναι μοναδιαίοι. Τον πίνακα [pic] θα τον συμβολίζουμε απλούστερα με Ι, όταν είναι προφανής ο τύπος του. Αν τώρα Α είναι ένας [pic] πίνακας, τότε ισχύουν ΑΙν[pic] και Iμ[pic]. Για παράδειγμα [pic] και [pic]. Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να γράφουμε [pic] για καθένα από τα ίσα γινόμενα [pic], [pic]. Ομοίως, αν [pic] είναι πίνακες τέτοιοι, ώστε να ορίζονται τα γινόμενα [pic], [pic], [pic] τότε έχουμε [pic] και μπορούμε να γράφουμε [pic] για καθένα από τα γινόμενα αυτά. Γενικά, επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, μπορεί να αποδειχτεί ότι όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό πινάκων [pic] το γινόμενο θα είναι το ίδιο κατά οποιονδήποτε τρόπο και αν εκτελεστεί ο πολλαπλασιασμός, χωρίς όμως να αλλάξει η σειρά των παραγόντων και συμβολίζεται με [pic]. Αν ο Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε ορίζονται τα γινόμενα ΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΑΑ, κτλ. και τα συμβολίζουμε με μορφή δυνάμεων ως εξής: [pic]αντιστοίχως. Ορίζουμε επίσης [pic]. Αν [pic] είναι θετικοί ακέραιοι, και κ πραγματικός αριθμός, αποδεικνύεται ότι: [pic], [pic] και [pic].

ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει, επιπλέον, και η αντιμεταθετική ιδιότητα. Δηλαδή, ισχύει [pic] για οποιουσδήποτε [pic]. Η ιδιότητα, όμως, αυτή δεν ισχύει για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, αφού υπάρχουν πίνακες [pic] με [pic]. Για παράδειγμα, αν [pic] και [pic], τότε [pic], αφού: [pic], ενώ [pic]. Επειδή, λοιπόν, δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα οι ισότητες: [pic], [pic], [pic], [pic] κτλ. δεν ισχύουν πάντοτε. Στην περίπτωση, όμως, που [pic] οι παραπάνω ισότητες ισχύουν.