Ορισμένο ολοκλήρωμα - Η έννοια του εμβαδού

Χαρακτηριστικό παράδειγμα της νέας μεθόδου αντιμετώπισης προβλημάτων υπολογισμού εμβαδών κατά τον 17ο αιώνα αποτελεί ο τρόπος με τον οποίο ο J. Wallis ανακάλυψε το 1655 μια νέα αναλυτική έκφραση για το εμβαδόν του κύκλου και τον αριθμό π. [pic] Ο Wallis θεώρησε ένα ημικύκλιο διαμέτρου [pic], χώρισε την ακτίνα του ΟΒ σε ίσα τμήματα μήκους α και από κάθε σημείο διαίρεσης ύψωσε μια κάθετη (βλ. σχήμα). Όπως είναι γνωστό από την Ευκλείδεια γεωμετρία, κάθε μια από αυτές τις κάθετες είναι μέση ανάλογη των δύο τμημάτων στα οποία χωρίζει τη διάμετρο ΑΒ. Π.χ., για την κάθετη ΓΔ, που είναι ύψος προς την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΔΑΒ, ισχύει [pic] δηλ. [pic]. Όμοια προκύπτει [pic], [pic] κ.ο.κ. Αφού υπολόγισε με τον τρόπο αυτό όλες τις (πεπερασμένου πλήθους) κάθετες που "εξαντλούν" το τεταρτημόριο ΟΜΒ, ο Wallis πραγματοποίησε μια "μετάβαση στο άπειρο" με τον εξής συλλογισμό: "Ο λόγος του αθροίσματος όλων αυτών των καθέτων προς το άθροισμα των μεγίστων τιμών τους (δηλ. των ακτίνων) είναι ίδιος με το λόγο του τεταρτημορίου (το οποίο "εξαντλούν" αυτές οι κάθετες) προς το τετράγωνο με πλευρά την ακτίνα (δηλ. το τετράγωνο ΟΜΛΒ, το οποίο "εξαντλούν" οι ακτίνες-προεκτάσεις των καθέτων)". Διατυπωμένο σε συμβολική γλώσσα, το συμπέρασμα αυτό του Wallis γίνεται [pic] (1) Αυτό το μίγμα Γεωμετρίας, Άλγεβρας και "πρωτόγονου" απειροστικού λογισμού, ισοδυναμεί ουσιαστικά με τη σύγχρονη σχέση [pic]. Πράγματι, αν θεωρήσουμε [pic] (δηλ. το μοναδιαίο κύκλο [pic]) και διαιρέσουμε την ακτίνα (δηλ. το διάστημα [pic] σε ν ίσα τμήματα μήκους το καθένα [pic], τότε το πρώτο μέλος της προηγούμενης ισότητας (1) γίνεται [pic]. Αυτό όμως όπως θα δούμε παρακάτω είναι το κατώτερο άθροισμα της συνάρτησης [pic] (που προκύπτει από την εξίσωση του κύκλου), ως προς την προηγούμενη διαμέριση του διαστήματος [pic], και το όριό του όταν [pic], είναι το [pic].

Η έννοια του ολοκληρώματος, όπως και οι άλλες θεμελιώδεις έννοιες της ανάλυσης, έγιναν αντικείμενο συστηματικής κριτικής και ορίστηκαν με λογική αυστηρότητα στη διάρκεια του 19ου αιώνα. Η έννοια του ολοκληρώματος που χρησιμοποιούμε σήμερα στο σχολείο, στηρίζεται στον επόμενο ορισμό του συμβόλου [pic] που έδωσε ο Β. Riemann το 1854: "Θεωρούμε μια ακολουθία τιμών [pic] που βρίσκονται ανάμεσα στα α και β κατά σειρά μεγέθους και συμβολίζουμε χάριν συντομίας το [pic] με [pic], το [pic] με [pic] το [pic] με [pic] και τα γνήσια θετικά κλάσματα με [pic]. Τότε η τιμή του αθροίσματος [pic] θα εξαρτάται από την εκλογή των διαστημάτων [pic] και των ποσοτήτων [pic]. Αν έχει την ιδιότητα, ανεξαρτήτως της εκλογής των [pic] και [pic], να τείνει προς ένα σταθερό όριο Α καθώς όλα τα [pic] γίνονται απειροελάχιστα, τότε η τιμή αυτή ονομάζεται [pic]. Αν δεν έχει αυτή την ιδιότητα, τότε το [pic] δεν έχει κανένα νόημα".