"Institute of Educational Policy" Books

Search

Go
Show

Οι ορίζουσες και οι πίνακες ως ανεξάρτητες έννοιες

Η χρησιμοποίηση των οριζουσών για την επίλυση γραμμικών συστημάτων έγινε πρώτη φορά από τον C. MacLaurin το 1729, αλλά η μέθοδος αυτή έμεινε γνωστή με το όνομα του G. Cramer, ο οποίος την παρουσίασε στο βιβλίο του "Εισαγωγή στην ανάλυση των αλγεβρικών καμπύλων γραμμών" (1750). Θέλοντας να προσδιορίσει μια καμπύλη που διέρχεται από 5 γνωστά σημεία και έχει εξίσωση της μορφής [pic] ο Cramer καταλήγει σ’ ένα γραμμικό σύστημα 5 εξισώσεων με αγνώστους τα [pic]. Για να λύσει αυτό το σύστημα, περιγράφει μια μέθοδο υπολογισμού των αγνώστων με κατασκευή κλασμάτων, των οποίων ο κοινός παρονομαστής και οι αριθμητές προσδιορίζονται από τους συντελεστές του συστήματος σύμφωνα με γενικούς κανόνες. Αυτή είναι ουσιαστικά η σημερινή μέθοδος των οριζουσών αλλά ο Cramer δε χρησιμοποιεί κάποιο ειδικό όνομα ή σύμβολο για την έννοια της ορίζουσας. Ο λατινικός όρος determinantem (ορίζουσα) χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον C.F. Gauss το 1801 αλλά όχι με τη σημερινή σημασία. Η πρώτη συστηματική διαπραγμάτευση της θεωρίας των οριζουσών έγινε από τον A.L. Cauchy σε μια εργασία του που δημοσιεύτηκε το 1815. Η λέξη "ορίζουσα" χρησιμοποιείται εκεί με τη σημερινή σημασία ενώ εισάγεται και η τετραγωνική διάταξη των στοιχείων της με τη βοήθεια των διπλών δεικτών: [pic] (οι 2 κάθετες γραμμές για το συμβολισμό μιας ορίζουσας, χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τον A. Cayley το 1841). Σε αντίθεση από τη σημερινή λογική σειρά παρουσίασης, η έννοια του πίνακα υπήρξε, ιστορικά, μεταγενέστερη από την έννοια της ορίζουσας. Το γεγονός ότι η ορίζουσα δεν είναι μόνο ένας αριθμός αλλά συσχετίζει αυτόν τον αριθμό με μια τετραγωνική διάταξη στοιχείων, οδήγησε βαθμιαία στη μελέτη αυτής της ίδιας της διάταξης, ανεξάρτητα από την τιμή της ορίζουσας. Ο όρος matrix (μήτρα, καλούπι), που σήμερα χρησιμοποιείται διεθνώς για την έννοια του πίνακα, πρωτοεμφανίστηκε σε μια εργασία του J.J. Sylvester το 1850, για να διαχωριστεί η έννοια της ορίζουσας από την τετραγωνική διάταξη των στοιχείων που την παράγει. Το 1855 ο Α. Cayley εισήγαγε για πρώτη φορά τους πίνακες στη μελέτη των γραμμικών μετασχηματισμών, ενώ το 1858 στην εργασία του "Μια πραγματεία στη θεωρία των μητρών", ανέπτυξε συστηματικά όλη τη βασική θεωρία. Όπως γράφει ο Cayley, στην ιδέα του πίνακα έφτασε τόσο από την έννοια της ορίζουσας όσο και από την ανάγκη ενός βολικού τρόπου έκφρασης των εξισώσεων [pic], [pic] ενός μετασχηματισμού, ο οποίος απεικονίζει το σημείο [pic] στο σημείο [pic]. Ως ένα τέτοιο τρόπο έκφρασης, ο Cayley εισάγει τον πίνακα [pic] και με βάση τις ιδιότητες των μετασχηματισμών ορίζει τις πράξεις των πινάκων και προσδιορίζει τις ιδιότητές τους. Π. χ., αν τον προηγούμενο μετασχηματισμό από το [pic] στο [pic] ακολουθήσει ένας νέος μετασχηματισμός από το [pic] στο [pic] και με εξισώσεις [pic] τότε, όπως εύκολα μπορεί να αποδειχθεί, ισχύει: [pic] [pic]. Έτσι ο Cayley ορίζει τον πολλαπλασιασμό πινάκων, με βάση το πρότυπο της διαδοχικής εκτέλεσης των δυο μετασχηματισμών, ως εξής: [pic]. Στην ίδια εργασία επισημαίνει επίσης ότι αυτός ο πολλαπλασιασμός είναι μια πράξη μη αντιμεταθετική καθώς και το γεγονός ότι υπάρχουν μη μηδενικοί πίνακες που έχουν ως γινόμενο το μηδενικό πίνακα. Ο λογισμός των πινάκων αναπτύχθηκε τα επόμενα χρόνια σε μια αυτοτελή μαθηματική θεωρία, που αποτελεί μέρος ενός ευρύτερου κλάδου των Μαθηματικών, της Γραμμικής Άλγεβρας. Το 1925, ο W. Heisenberg (βραβείο Νόμπελ Φυσικής 1932) χρησιμοποίησε τη θεωρία των πινάκων για να εκφράσει τα μη αντιμεταθετικά Μαθηματικά που περιγράφουν τα φαινόμενα της κβαντικής μηχανικής, ενώ αργότερα η χρήση των πινάκων επεκτάθηκε και σε άλλες επιστήμες.

(1) To κεφάλαιο αυτό έχει ληφθεί από το βιβλίο: «Μαθηματικά Β΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης» των: Αδαμόπουλου Λ., Βισκαδουράκη Β., Γαβαλά Δ., Πολύζου Γ. και Σβέρκου Α.