Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Η πρώτη εμφάνιση μιας "ορίζουσας " σε πρόβλημα απαλοιφής

Ο G.W. Leibniz, σε μια επιστολή του προς τον l’ Hospital στις 28-4-1693, πρότεινε μια μέθοδο χρησιμοποίησης των αριθμών για την έκφραση γενικών σχέσεων, όπως ακριβώς γίνεται με τη χρήση των γραμμάτων. Ως παράδειγμα έδωσε ένα γραμμικό σύστημα 3 εξισώσεων με 2 αγνώστους, γραμμένο στη μορφή: [pic] (1) Οι συντελεστές του συστήματος δεν εκφράζουν εδώ αριθμούς αλλά λειτουργούν όπως και οι διπλοί δείκτες που χρησιμοποιούνται σήμερα για την παράσταση των στοιχείων ενός πίνακα. Αυτοί οι "ψευδοαριθμοί" (όπως τους αποκαλεί ο Leibniz) δείχνουν με το πρώτο ψηφίο τους την εξίσωση στην οποία βρίσκονται και με το δεύτερο, το γράμμα στο οποίο ανήκουν. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών, ο Leibniz απαλείφει τον άγνωστο y, αρχικά από την 1η και 2η εξίσωση και κατόπιν από την 1η και 3η. Έτσι προκύπτουν οι εξισώσεις: [pic] Στη συνέχεια απαλείφει το x από τις δυο τελευταίες εξισώσεις (λύνοντας καθεμιά ως προς x και εξισώνοντας τα αποτελέσματα) και φτάνει στην ισότητα: [pic] ή [pic]. Δηλαδή σ' αυτό που σήμερα αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να έχει λύση το σύστημα (1) (ο μηδενισμός της ορίζουσας του επαυξημένου πίνακα του συστήματος). Το προηγούμενο αποτέλεσμα του Leibniz έχει κυρίως τη σημασία της απαλείφουσας ενός γραμμικού συστήματος, δηλαδή της σχέσης μεταξύ των συντελεστών η οποία προκύπτει όταν γίνεται απαλοιφή όλων των αγνώστων. Στην ίδια επιστολή ο Leibniz δίνει και ένα γενικό κανόνα για τον υπολογισμό της απαλείφουσας ενός οποιουδήποτε γραμμικού συστήματος, που έχει επαρκή αριθμό εξισώσεων για την απαλοιφή όλων των αγνώστων.