ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Οι "γραμμοπράξεις" σ’ ένα κινέζικο πρόβλημα του 3ου αιώνα π.Χ.

Το επόμενο πρόβλημα προέρχεται από μια αρχαία κινεζική συλλογή προβλημάτων με τίτλο "Εννέα κεφάλαια στη μαθηματική τέχνη". Η λύση που δίνεται εκεί συμπίπτει ουσιαστικά με τη σύγχρονη μέθοδο του "επαυξημένου πίνακα" και των "γραμμοπράξεων". 3 δεμάτια μιας καλής συγκομιδής, 2 δεμάτια μιας μέτριας συγκομιδής και 1 δεμάτι μιας κακής συγκομιδής δίνουν 39 dou σιτάρι. 2 δεμάτια της καλής, 3 δεμάτια της μέτριας και 1 δεμάτι της κακής συγκομιδής δίνουν 34 dou σιτάρι. 1 δεμάτι της καλής, 2 δεμάτια της μέτριας και 3 δεμάτια της κακής συγκομιδής δίνουν 26 dou σιτάρι. Να βρεθεί πόσο σιτάρι δίνει ένα δεμάτι από κάθε είδος συγκομιδής. Το πρόβλημα αυτό ανάγεται σήμερα στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους x, y, z: [pic]. Στο αρχαίο κείμενο, στο οποίο δεν υπάρχουν καθόλου σύμβολα, δίνονται οδηγίες για την τοποθέτηση των αριθμών στις κατακόρυφες στήλες ενός άβακα σύμφωνα με τον εξής τρόπο: [pic] Η παραπάνω διάταξη μετασχηματίζεται στη συνέχεια ως εξής: Η 2η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 3 και κατόπιν αφαιρείται απ’ αυτήν 2 φορές η 3η στήλη, με αποτέλεσμα: [pic] Κατόπιν η 1η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 3 και απ’ αυτήν αφαιρείται η 3η στήλη, με αποτέλεσμα: [pic] Τέλος, η 1η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 5 και απ’ αυτήν αφαιρείται 4 φορές η 2η στήλη, με αποτέλεσμα [pic] Το αρχικό σύστημα έχει λοιπόν μετασχηματιστεί στο [pic] από το οποίο υπολογίζεται αμέσως ο z και με διαδοχικές αντικαταστάσεις, οι x, y. Στο αρχαίο κείμενο, με μια ανάλογη διαδικασία που εκτελείται πάνω στον άβακα, προσδιορίζεται η λύση του προβλήματος: 1 δεμάτι της κακής συγκομιδής δίνει [pic]dou σιτάρι 1 δεμάτι της μέτριας συγκομιδής δίνει [pic]dou σιτάρι 1 δεμάτι της καλής συγκομιδής δίνει [pic]dou σιτάρι.

Στο έργο "Αριθμητικά", του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου, υπάρχουν πολλά προβλήματα που ανάγονται στην επίλυση γραμμικών συστημάτων. Στο επόμενο, που είναι το πρόβλημα 19 του πρώτου βιβλίου, ο τρόπος επίλυσης βρίσκεται πολύ κοντά προς το σύγχρονο αλγεβρικό τρόπο σκέψης: Ευρείν τέσσαρας αριθμούς όπως οι τρεις λαμβανόμενοι του λοιπού υπερέχωσιν επιταχθέντι αριθμώ. (Να βρεθούν 4 αριθμοί έτσι ώστε λαμβανόμενοι ανά τρεις να ξεπερνούν τον άλλο κατά δοθέντα αριθμό). Ο Διόφαντος παρουσιάζει τη λύση του προβλήματος μέσα από μια ειδική περίπτωση (που γενικεύεται άμεσα). Έστω, γράφει, ότι οι α, β, γ ξεπερνούν τον δ κατά 20, οι β, γ, δ ξεπερνούν τον α κατά 30, οι γ, δ, α ξεπερνούν τον β κατά 40 και οι δ, α, β ξεπερνούν τον γ κατά 50. Το πρόβλημα, όπως είναι φανερό, ανάγεται στην επίλυση του γραμμικού συστήματος: [pic]

Ο Διόφαντος, ο οποίος δε χρησιμοποιεί ειδικά σύμβολα για την πρόσθεση και την ισότητα, λύνει το πρόβλημα με την εισαγωγή ενός βοηθητικού αγνώστου, που εκφράζει το άθροισμα των 4 ζητούμενων αριθμών. Η μέθοδός του, με σύγχρονο συμβολισμό, συνοψίζεται ως εξής: Αν [pic], τότε από την [pic] έχουμε [pic] ή [pic] ή [pic]. Όμοια, από τις άλλες εξισώσεις παίρνουμε [pic], [pic] και [pic]. Από τις 4 τελευταίες ισότητες, με πρόσθεση παίρνουμε [pic] ή [pic] ή [pic] και άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι [pic], [pic], [pic], [pic]