ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Για την ασφαλή πτήση ενός αεροπλάνου με δύο κινητήρες, πρέπει να δουλεύει ο ένας τουλάχιστον κινητήρας. Οι κινητήρες δουλεύουν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον. Αν υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να πάθει κάποιος κινητήρας βλάβη είναι 0,003, να βρεθεί η πιθανότητα για μια ασφαλή πτήση.

ΛΥΣΗ Το αεροπλάνο δεν εκτελεί ασφαλή πτήση, όταν πάθουν βλάβη και οι δύο κινητήρες. Επειδή οι κινητήρες λειτουργούν ανεξαρτήτως ο ένας από τον άλλον, η πιθανότητα να πάθουν βλάβη και οι δύο συγχρόνως είναι ίση με [pic]. Άρα, η πιθανότητα μιας ασφαλούς πτήσης είναι ίση με [pic] δηλαδή [pic].

2. Από τρεις όμοιες μηχανές ενός εργοστασίου η πρώτη (Ι) παράγει το 20%, η δεύτερη (ΙΙ) το 30% και η τρίτη (ΙΙΙ) το 50% της συνολικής παραγωγής ενός εξαρτήματος. Επιπλέον, το 5% της παραγωγής της μηχανής Ι, το 4% της ΙΙ και το 2% της ΙΙΙ είναι ελαττωματικά εξαρτήματα. Δύο ερωτήσεις του λεγόμενου ποιοτικού ελέγχου είναι οι εξής: i) Αν επιλέξουμε τυχαίως ένα εξάρτημα σε ένα κατάστημα πωλήσεων ποια είναι η πιθανότητα να είναι ελαττωματικό; ii) Αν ένα εξάρτημα που επιλέχθηκε τυχαία είναι ελαττωματικό, ποια είναι η πιθανότητα να προέρχεται από τη μηχανή Ι; [pic]

ΛΥΣΗ Αν [pic] και [pic] είναι τα ενδεχόμενα το επιλεγμένο εξάρτημα να προέρχεται από τις μηχανές Ι, ΙΙ και ΙΙΙ αντιστοίχως, τότε [pic], [pic] και [pic]. Τα [pic] και [pic] είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους και επιπλέον [pic]. Αν Α είναι το ενδεχόμενο το επιλεγμένο εξάρτημα να είναι ελαττωματικό, τότε [pic] και [pic]. (1) Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε [pic], [pic] και [pic]. Επομένως: i) Από την (1) και τον πολλαπλασιαστικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε: [pic] [pic]. ii) Ζητάμε την πιθανότητα [pic]. Έχουμε [pic], δηλαδή, [pic]. Η λύση προβλημάτων όπως το προηγούμενο, διευκολύνεται με τη βοήθεια ενός δεντροδιαγράμματος, όπως φαίνεται στο σχήμα: [pic] Οι κλάδοι [pic] και [pic] αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα προέλευσης του εξαρτήματος από τις μηχανές Ι, ΙΙ και ΙΙΙ αντιστοίχως, και οι αντίστοιχες πιθανότητες των ενδεχομένων αυτών είναι γραμμένες πάνω στους κλάδους. Από το τέλος κάθε τέτοιου κλάδου ξεκινούν δύο άλλοι κλάδοι, που αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα το εξάρτημα να είναι ελαττωματικό ή μη ελαττωματικό με γραμμένες πάλι επάνω τους τις αντίστοιχες πιθανότητες. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα (i) επισημαίνουμε πρώτα τις διαδρομές που οδηγούν σε ελαττωματικό εξάρτημα. Οι διαδρομές αυτές είναι οι [pic] και [pic] και αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα [pic] και [pic]. Στη συνέχεια με εφαρμογή του πολλαπλασιαστικού νόμου των πιθανοτήτων υπολογίζουμε τις πιθανότητες των ενδεχομένων αυτών. Έχουμε [pic], [pic] και [pic]. Τέλος, επειδή τα ενδεχόμενα που παριστάνουν οι διαδρομές είναι ασυμβίβαστα, προσθέτουμε τις παραπάνω πιθανότητες και βρίσκουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α. Επομένως [pic].

ΣΧΟΛΙΟ Στο δεύτερο ερώτημα της παραπάνω εφαρμογής γνωρίζουμε το αποτέλεσμα του πειράματος και ζητάμε την πιθανότητα να προέρχεται το εξάρτημα από τη μηχανή Ι. Η πιθανότητα αυτή [pic] λέγεται "εκ των υστέρων (a posteriori) πιθανότητα", ενώ η [pic] λέγεται "εκ των προτέρων (a priori) πιθανότητα".