Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Ένας ερευνητής, για να εξετάσει την επίδραση ενός αναισθητικού, εμβολίασε 10 ποντίκια με διαφορετική δόση κάθε φορά. Οι χρόνοι που μεσολάβησαν ώσπου τα ποντίκια να χάσουν τις αισθήσεις τους (λιποθυμήσουν) καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα.

Δόση (σε mgr) |0,30 |0,35 |0,40 |0,45 |0,55 |0,60 |0,65 |0,70 |0,75 |0,80 | |Χρόνος λιποθυμίας (sec) |12,5 |11,5 |11 |8,5 |7 |6 |5 |4 |2,5 |2 | |

α) Να γίνει το διάγραμμα διασποράς β) Να επιλεγούν δύο πιθανά σημεία από τα οποία διέρχεται η προσαρμοσμένη ευθεία παλινδρόμησης και με βάση αυτά να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας. γ) Ύστερα από πόσο χρόνο αναμένεται να λιποθυμήσει ένα ποντίκι, εάν του γίνει ένεση (εμβολιαστεί) με 0, 0,5, 1 mgr αναισθητικού, αντίστοιχα; Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα.

ΛΥΣΗ α) Η περίπτωση που εξετάζεται εδώ αναφέρεται σε μια πειραματική κατάσταση, κατά την οποία ο ερευνητής καθορίζει εκ των προτέρων τη δόση του αναισθητικού που θα δώσει στα πειραματόζωα και μετρά τις αντιδράσεις τους. Ενδιαφέρεται δηλαδή να προσδιορίσει μια σχέση δόσης αναισθητικού και χρόνου λιποθυμίας. Έτσι, η δόση αναισθητικού παριστάνει την ανεξάρτητη μεταβλητή (X) και ο χρόνος λιποθυμίας την εξαρτημένη μεταβλητή (Y). Επομένως, το διάγραμμα διασποράς παριστάνεται παρακάτω: [pic] β) Δύο σημεία από τα οποία εκτιμάται "με το μάτι" ότι θα διέρχεται η καλύτερη ευθεία παλινδρόμησης είναι τα [pic] και [pic]. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της ευθείας [pic] έχουμε το σύστημα: [pic] από την επίλυση του οποίου βρίσκουμε [pic] και [pic], οπότε η ευθεία παλινδρόμησης έχει εξίσωση [pic]. Παρατηρούμε, όπως άλλωστε αναμενόταν και από το διάγραμμα διασποράς, ότι ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός, δηλαδή έχουμε αρνητική εξάρτηση του χρόνου λιποθυμίας ως προς τη δόση αναισθητικού. Μεγαλύτερη δόση επιφέρει γρηγορότερη (σε μικρότερο χρόνο) λιποθυμία. γ) Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση τις τιμές της δόσης [pic], 0,5 και 1 mgr, βρίσκουμε τον προβλεπόμενο χρόνο λιποθυμίας του ποντικιού [pic], [pic] και [pic] sec, αντίστοιχα.

ΣΧΟΛΙΟ Παρατηρούμε ότι εμφανίζονται εδώ δυο παράδοξα: - Μηδενική δόση του αναισθητικού προκαλεί λιποθυμία σε 18,5 sec. Υποθέτουμε όμως εδώ ότι τα ποντίκια χάνουν τις αισθήσεις τους μόνο από τη δόση του αναισθητικού και όχι από το φόβο τους! - Δόση αναισθητικού 1 mgr προκαλεί λιποθυμία σε [pic] sec. Όμως και πάλι εδώ υποθέτουμε ότι η ένεση γίνεται σε ποντίκι που έχει τις αισθήσεις του και όχι να είναι πριν από [pic] sec λιπόθυμο! Οι δύο αυτές παρατηρήσεις οδηγούν στο βασικό συμπέρασμα ότι οι προβλέψεις της εξαρτημένης μεταβλητής έχουν νόημα, είναι δηλαδή δυνατές, μόνο για τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής οι οποίες βρίσκονται στο διάστημα που έχουμε εξετάσει ή τουλάχιστον πολύ κοντά στα άκρα του διαστήματος αυτού.

2. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος (π.χ. των κερασιών) Υ (σε κιλά) από το μανάβικο μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος σε εκατοντάδες δρχ. ανά κιλό για μια ορισμένη χρονική περίοδο

|Τιμή κερασιών ανά κιλό|15 13 11 9 | | |9 6 5 4 | |σε εκατοντάδες | | |δρχ., Χ | | |Πωλήσεις σε κιλά,| 5 6 8 10 | |Υ |9 12 15 11 |

α) Να βρεθεί η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων [pic] (των πωλήσεων σε συνάρτηση με την τιμή) και να χαραχτεί στο αντίστοιχο διάγραμμα διασποράς. β) Να ερμηνευθεί η έννοια των [pic] και [pic] γ) Ποια είναι η αναμενόμενη ζήτηση (πωλήσεις), όταν η τιμή είναι 800 δρχ./ κιλό; δ) Με βάση την ευθεία αυτή μπορούμε να προβλέψουμε την τιμή του προϊόντος, όταν η ζήτηση είναι 10 κιλά;

ΛΥΣΗ

|x |y |[pic] |[pic] | |15 | 5 |225 |75 | |13 |6 |169 |78 | |11 |8 |121 |88 | |9 |10 |81 |90 | |9 |9 |81 |81 | |6 |12 |36 |72 | |5 |15 |25 |75 | |4 |11 |16 |44 | |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

α) Για τον προσδιορισμό της εξίσωσης της ευθείας ελάχιστων τετραγώνων διευκολύνει ο διπλανός πίνακας με τις απαραίτητες πράξεις. Επομένως, έχουμε: [pic] [pic] [pic] [pic][pic] [pic]. [pic] Άρα, η εξίσωση της ζήτησης (των κερασιών) σε συνάρτηση με την τιμή τους είναι [pic]. Επειδή γνωρίζουμε ότι η ευθεία διέρχεται από τα σημεία [pic] και [pic], είναι εύκολο να χαραχτεί στο διάγραμμα διασποράς, όπως φαίνεται δίπλα. β) Το [pic] προσδιορίζει την προβλεπόμενη ζήτηση του προϊόντος, όταν η τιμή του είναι 0 δρχ./ κιλό. Προφανώς εδώ τέτοια περίπτωση δεν είναι ρεαλιστική. Το [pic] προσδιορίζει τη μεταβολή που επέρχεται στην εξαρτημένη μεταβλητή Υ, όταν η Χ μεταβληθεί κατά μία μονάδα. Δηλαδή όταν η τιμή των κερασιών αυξηθεί κατά 100 δρχ./ κιλό (μία μονάδα), οι πωλήσεις θα ελαττωθούν κατά 0,76 κιλά. γ) Όταν η αξία του προϊόντος είναι 800δρχ./κιλό, σημαίνει ότι [pic] (8 εκατοντάδες δρχ.). Συνεπώς, για [pic] η αναμενόμενη ζήτηση [pic] είναι [pic] κιλά. δ) Προφανώς, στην περίπτωση που χρησιμοποιείται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων για την εκτίμηση της ευθείας παλινδρόμησης της εξαρτημένης μεταβλητής Υ πάνω στην ανεξάρτητη μεταβλητή Χ, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η προκύπτουσα ευθεία για πρόβλεψη της Χ, όταν δίνεται το Υ. Για να γίνει κάτι τέτοιο, πρέπει εξαρχής να εκτιμηθεί η ευθεία παλινδρόμησης της Χ πάνω στην Υ.