ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

|xi |νi | |50 | 4| |55 | | |60 |6 | |65 |8 | |70 |12 | |75 |14 | |80 |10 | | |6 |

1. Ο διπλανός πίνακας συχνοτήτων δίνει την κατανομή του χρόνου Χ (σε sec) 60 μαθητών που χρειάστηκαν, για να τρέξουν μια δεδομένη απόσταση. Να υπολογιστούν: α) ο μέσος, ο διάμεσος και ο επικρατέστερος χρόνος για την κάλυψη της συγκεκριμένης απόστασης, β) η τυπική απόκλιση, γ) σε πόσο χρόνο από της στιγμή της εκκίνησης κάλυψε την απόσταση το 25% των μαθητών.

ΛΥΣΗ α) - Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής συμπληρώνουμε τις τρεις πρώτες στήλες του παρακάτω πίνακα:

|[pic] |[pic]|[pic] |[pic] | | | | | | |50 | 4 |200 |10000 | |55 |6 |330 |18150 | |60 |8 |480 |28800 | |65 |12 |780 |50700 | |70 |14 |980 |68600 | |75 |10 |750 |56250 | |80 |6 |480 |38400 | |Σύνολο|ν=60|Σ[pic]=40|Σ[pic]=2709| | | |00 |00 |

Επομένως, ο μέσος χρόνος για την κάλυψη της συγκεκριμένης απόστασης είναι: [pic]sec. Έχουμε [pic] παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά, άρα η διάμεσος είναι ο μέσος όρος της 30ής και 31ης παρατήρησης, δηλαδή ο μέσος όρος των παρατηρήσεων 65 και 70, άρα [pic]. - Η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα, άρα [pic]. β) Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης είναι προτιμότερο να εφαρμόσουμε τη σχέση (4), μιας και η μέση τιμή δεν είναι ακέραιος αριθμός. Με βάση τον παραπάνω πίνακα η διακύμανση της μεταβλητής Χ είναι: [pic] και η τυπική απόκλιση [pic]. γ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το πρώτο τεταρτημόριο, [pic]. Αριστερά της διαμέσου [pic] έχουμε 30 παρατηρήσεις. Η διάμεσος αυτών των 30 πρώτων παρατηρήσεων είναι το ημιάθροισμα της 15ης και 16ης παρατήρησης, δηλαδή [pic]. Δηλαδή, ύστερα από μία ώρα από τη στιγμή της εκκίνησης το 25% των μαθητών κάλυψαν τη συγκεκριμένη απόσταση.

2. Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση [pic] γίνεται ελάχιστη, όταν [pic].

ΛΥΣΗ Λαμβάνοντας την πρώτη παράγωγο της [pic], βρίσκουμε [pic]. Έχουμε διαδοχικά: [pic] [pic] [pic] [pic]. Η δεύτερη παράγωγος της [pic] είναι: [pic] και επειδή [pic] συνεπάγεται ότι για [pic] η [pic] γίνεται ελάχιστη.

3. Έστω [pic] ν παρατηρήσεις με μέση τιμή [pic] και τυπική απόκλιση [pic]. α) Αν [pic] είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουμε σε καθεμιά από τις [pic] μια σταθερά c, να δειχτεί ότι: i) [pic], ii) [pic] β) Αν [pic] είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιά- σουμε τις [pic] επί μια σταθερά c, να αποδειχτεί ότι: i) [pic], ii) [pic]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ α) Έχουμε [pic], [pic], επομένως: i) [pic] [pic] ii) [pic] [pic] [pic]. Άρα και [pic]. β) Έχουμε [pic], [pic], επομένως: i) [pic][pic] ii) [pic] [pic] [pic]. Άρα και [pic].