Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

[pic] 1. Ένα παράθυρο έχει το διπλανό σχήμα και αποτελείται από ένα ορθογώνιο που περικλείεται στο άνω μέρος από ένα ημικύκλιο. Το παράθυρο έχει περίμετρο 30 μέτρα. Να βρείτε τις διαστάσεις που πρέπει να έχει ώστε να μπαίνει από αυτό όσο γίνεται περισσότερο φως.

ΛΥΣΗ - Έστω x η ακτίνα του ημικυκλίου. Τότε [pic]. Αν [pic], έχουμε: [pic] [pic] (1) Η μεγαλύτερη ποσότητα φωτός θα διέρχεται από το παράθυρο, όταν το εμβαδόν του είναι μέγιστο. Αν Ε το εμβαδόν του παραθύρου, τότε [pic], δηλαδή [pic]. - Έχουμε [pic] και [pic]. Επειδή [pic], συμπεραίνουμε ότι για [pic] η συνάρτηση έχει τη μέγιστη τιμή της. Για την τιμή αυτή του x από την (1) έχουμε [pic] και επομένως [pic]. Άρα για [pic], το παράθυρο έχει το μέγιστο εμβαδό.

2. Το κέρδος P σε ευρώ από την πώληση ενός αυτοκινήτου ορισμένου τύπου και ο χρόνος παραγωγής του t σε ώρες σχετίζονται με τον τύπο: [pic]. Να βρεθεί το μέγιστο δυνατό κέρδος.

ΛΥΣΗ Έχουμε [pic]. Επομένως [pic]. Θα εξετάσουμε αν η τιμή [pic] αντιστοιχεί σε μέγιστο κέρδος με τη βοήθεια της δεύτερης παραγώγου. Έχουμε [pic], αφού [pic]. Άρα για [pic] έχουμε το μέγιστο δυνατό κέρδος που είναι ίσο με [pic] ευρώ.