ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης [pic].

ΛΥΣΗ Έχουμε: [pic]. [pic]. [pic]. Επομένως, αν [pic], τότε [pic] για [pic] και [pic] για [pic].

|x |[pic] [pic] | | |[pic] | |[pic]| ( 0| | |( | ενώ αν [pic], τότε [pic] για [pic] και [pic] για [pic]. |x |[pic] [pic] | | |[pic] | |[pic]| ( 0| | |( |

Άρα, η συνάρτηση [pic] για [pic] παρουσιάζει ελάχιστο αν [pic] και μέγιστο αν [pic]. Η τιμή του μεγίστου ή του ελαχίστου είναι ίση με [pic].

2. Ένας πληθυσμός 1000 βακτηριδίων εισάγεται σε ένα θρεπτικό μέσον και αναπτύσσεται σύμφωνα με τη συνάρτηση [pic], όπου t ο χρόνος σε ώρες. Σε πόσο χρόνο ο πληθυσμός των βακτηριδίων θα είναι μέγιστος και ποιος θα είναι ο πληθυσμός αυτός;

ΛΥΣΗ Έχουμε [pic]. [pic]. Επειδή ο χρόνος t είναι θετικός, η ρίζα [pic] απορρίπτεται. [pic] [pic]. Επομένως [pic] για [pic]. Έχουμε λοιπόν [pic], [pic] στο (0, 10) και [pic], στο (10, [pic]). Άρα ύστερα από 10 ώρες θα παρουσιαστεί ο μέγιστος πληθυσμός βακτηριδίων που θα είναι ίσος με [pic].