1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Το Κριτήριο της Πρώτης Παραγώγου

Σε προηγούμενες τάξεις χρειάστηκε να εφαρμόσουμε τις μεθόδους της ¶λγεβρας και της Γεωμετρίας για να επιλύσουμε προβλήματα στα οποία σκοπός ήταν να μεγιστοποιήσουμε ή να ελαχιστοποιήσουμε την τιμή ενός μεγέθους. Για παράδειγμα, μεταξύ όλων των ορθογωνίων με την ίδια περίμετρο βρήκαμε τις διαστάσεις εκείνου του ορθογωνίου που έχει το μέγιστο εμβαδόν και μεταξύ όλων των ορθογωνίων με το ίδιο εμβαδόν, αναζητήσαμε τις διαστάσεις εκείνου του ορθογωνίου που έχει την ελάχιστη περίμετρο. Βέβαια οι μέθοδοι που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση των προβλημάτων αυτών δύσκολα μπορούν να εφαρμοστούν και για την επίλυση προβλημάτων άλλης μορφής. Με τη βοήθεια όμως της παραγώγου μπορούμε να διατυπώσουμε μια γενική μέθοδο προσδιορισμού της μέγιστης ή της ελάχιστης τιμής ενός μεταβαλλόμενου μεγέθους. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να βρούμε το μέγιστο ύψος στο οποίο μπορεί να φθάσει ένα σώμα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα επάνω με αρχική ταχύτητα [pic]. Αν η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι [pic], τότε, σύμφωνα με όσα μας διδάσκει η Φυσική, το ύψος h του σώματος ύστερα από t δευτερόλεπτα θα είναι [pic][pic]. (1) Επομένως η γραφική παράσταση της h(t) θα είναι μια παραβολή η οποία: [pic] * Τέμνει τον άξονα των t στα σημεία [pic] και [pic]. * Παρουσιάζει μέγιστο για [pic] που είναι ίσο με [pic]. * Είναι γνησίως αύξουσα για [pic] και γνησίως φθίνουσα για [pic]. Ας δούμε τώρα πώς μεταβάλλεται το πρόσημο της παραγώγου [pic] στο διάστημα [pic]. Λύνοντας την ανίσωση [pic], βρίσκουμε ότι αριστερά του 2 όπου η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, η παράγωγός της είναι θετική, ενώ δεξιά του 2 όπου η συνάρτηση είναι φθίνουσα, η παράγωγός της είναι αρνητική.

|t |0 2 | | |4 | |[pic| ( 0 | | |( |

Από τα παραπάνω φαίνεται να υπάρχει στενή σχέση ανάμεσα στη μονοτονία και στην παράγωγο μιας συνάρτησης. Αποδεικνύεται ότι: * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει [pic] για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει [pic] για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Παρατηρούμε ακόμα ότι στο σημείο [pic] όπου η h παρουσιάζει μέγιστο, η [pic] μηδενίζεται, ενώ εκατέρωθεν του [pic] η [pic] αλλάζει πρόσημο. Αποδεικνύεται ότι: * Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν [pic] για [pic], [pic] στο [pic] και [pic] στο [pic], τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα [pic] για [pic] μέγιστο. * Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν [pic] για [pic], [pic] στο [pic] και [pic] στο [pic], τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα [pic] για [pic] ελάχιστο. [pic] [pic]

(α)

(β)