ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Η θέση ενός υλικού σημείου που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση εκφράζεται με τη συνάρτηση [pic], όπου το t μετριέται σε δευτερόλεπτα. α) Να βρεθεί η μέση ταχύτητα στα παρακάτω χρονικά διαστήματα: (i) [pic] (ii) [pic] (iii) [pic] (iv) [pic]. β) Να βρεθεί η ταχύτητα όταν [pic]. γ) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic]. δ) Να σχεδιαστούν οι τέμνουσες από το [pic] της γραφικής παράστασης με συντελεστή διεύθυνσης τις μέσες ταχύτητες του ερωτήματος (α).

Επίσης, να βρεθεί και να σχεδιαστεί η εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης [pic] στο σημείο της με [pic].

ΛΥΣΗ α) Από τον ορισμό της μέσης ταχύτητας έχουμε i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic] β) Η ταχύτητα υ όταν [pic], είναι [pic]. γ) Αν σε ένα ορθοκανονικό σύστημα ο οριζόντιος άξονας παριστάνει το χρόνο t και ο κατακόρυφος άξονας το [pic], τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic] είναι, σύμφωνα με όσα γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου, μια παραβολή με κορυφή το σημείο [pic] και άξονα συμμετρίας την ευθεία [pic]. Έτσι, έχουμε την παρακάτω γραφική παράσταση. [pic] δ) Επειδή οι τέμνουσες διέρχονται από το σημείο [pic] και έχουν συντελεστές διεύθυνσης 3, 2, 1,5 και 1,1, οι εξισώσεις τους είναι [pic], [pic], [pic] και [pic] αντιστοίχως. Οι ευθείες αυτές έχουν σχεδιαστεί στο παραπάνω σχήμα.

Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο της με [pic] θα έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με τη στιγμιαία ταχύτητα όταν [pic], δηλαδή ίσο με 1. Επειδή η εφαπτομένη αυτή διέρχεται και από την αρχή των αξόνων, η εξίσωσή της είναι [pic], δηλαδή είναι η διχοτόμος της γωνίας των θετικών ημιαξόνων.

2. Δίνεται η συνάρτηση [pic]. (i) Να βρεθεί η [pic]. (ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της [pic] και να σχεδιαστεί η εφαπτομένη αυτή.

ΛΥΣΗ i) Έχουμε [pic] και για [pic] [pic]. Επομένως [pic][pic]. [pic] ii) Η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο της με [pic] έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με [pic]. Επομένως, η εξίσωσή της είναι [pic]. Επειδή όμως το σημείο [pic] ανήκει στην εφαπτομένη, έχουμε [pic] [pic] [pic]. Άρα, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι [pic].