3.6 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Με τη βοήθεια του θεμελιώδους θεωρήματος του ολοκληρωτικού λογισμού μπορούμε, τώρα, να αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως Θεώρημα Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού.

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [pic], τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, [pic] τέτοιο, ώστε [pic]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση [pic]. Η συνάρτηση αυτή είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει [pic]. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic]. (1) Είναι όμως, [pic], [pic] και [pic]. (1) Το άθροισμα αυτό ονομάζεται ένα άθροισμα RIEMANN. Επομένως, η ισότητα (1) γράφεται [pic] ή, ισοδύναμα, [pic].

ΣΧΟΛΙΟ [pic] Ο αριθμός [pic] λέγεται μέση τιμή της συνάρτησης f στο [pic] και συμβολίζεται με [pic]. Γεωμετρικά, η μέση τιμή [pic] μιας μη αρνητικής συνάρτησης f στο διάστημα [pic] παριστάνει το ύψος του ορθογωνίου που έχει βάση το [pic] και εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα [pic] και τις ευθείες[pic]και[pic](Σχ. 15) .