ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματα i) [pic] ii) [pic]. ΛΥΣΗ i) Θέτουμε [pic], οπότε [pic]. Επομένως, [pic][pic] ii) Έχουμε [pic][pic]. Επομένως, αν θέσουμε [pic], οπότε [pic], έχουμε: [pic][pic].

2. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα i) [pic] ii) [pic] iii) [pic]. ΛΥΣΗ i) Θέτουμε [pic], οπότε [pic]. Επομένως, [pic][pic] [pic]. ii) Θέτουμε [pic], οπότε [pic]. Επομένως, [pic][pic]. iii) Θέτουμε [pic], οπότε [pic]. Άρα [pic][pic].

3. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα i) [pic] ii) [pic]. ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση [pic] έχει πεδίο ορισμού το [pic] και γράφεται [pic]. Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι, ώστε να ισχύει [pic] , για κάθε [pic]. Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε τελικά: [pic], για κάθε [pic]. Η τελευταία ισότητα ισχύει για κάθε [pic], αν και μόνο αν [pic] ή, ισοδύναμα, [pic]. Επομένως, [pic] [pic]. Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής [pic], με [pic] ii) Αν εκτελέσουμε τη διαίρεση του πολυωνύμου [pic] με το πολυώνυμο [pic], βρίσκουμε ότι [pic]. Επομένως, [pic][pic][pic] [pic] (λόγω του (i)). Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής [pic], όπου [pic] πολυώνυμο του x βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 και [pic].