Προσδιορισμός των τοπικών ακροτάτων

Με μια προσεκτική παρατήρηση του σχήματος 32β βλέπουμε ότι αν σ’ ένα εσωτερικό σημείο [pic] ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε στο σημείο [pic] η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι οριζόντια, δηλαδή ισχύει [pic]. Αυτό επιβεβαιώνεται από το παρακάτω θεώρημα, που είναι γνωστό ως Θεώρημα του Fermat.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και [pic] ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο [pic] και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: [pic]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ [pic] Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο [pic] τοπικό μέγιστο. Επειδή το [pic] είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ' αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic] και [pic], για κάθε [pic]. (1) Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο [pic], ισχύει [pic]. Επομένως, - αν [pic], τότε, λόγω της (1), θα είναι [pic], οπότε θα έχουμε [pic] (2) - αν [pic], τότε, λόγω της (1), θα είναι [pic], οπότε θα έχουμε [pic]. (3) Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε [pic]. Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.

ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η [pic] είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων. Επομένως, όπως φαίνεται και στα σχήματα 29 και 30, οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ είναι: 1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται. 2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. 3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της). Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ. [pic] Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic]. Η f είναι συνεχής στο [symbol] και παραγωγίσιμη στο [pic] με [pic]. Οι ρίζες της [pic] είναι οι 0 και 2. Επειδή η [pic] μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, τα κρίσιμα σημεία της f είναι οι αριθμοί 0, 1 και 2. Όμως, όπως φαίνεται στο σχήμα, τα σημεία 1 και 2 είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων, ενώ το σημείο 0 δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου. Άρα δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτων της f. Επομένως, χρειαζόμαστε ένα κριτήριο το οποίο να μας πληροφορεί ποια από τα κρίσιμα σημεία της f είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων αυτής. Σχετικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα [pic], με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του [pic], στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. i) Αν [pic] στο [pic] και [pic] στο [pic], τότε το [pic] είναι τοπικό μέγιστο της f. (Σχ. 35α) ii) Αν [pic] στο [pic] και [pic] στο [pic], τότε το [pic] είναι τοπικό ελάχιστο της f. (Σχ. 35β) iii) Aν η [pic] διατηρεί πρόσημο στο [pic], τότε το [pic] δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο [pic]. (Σχ. 35γ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Επειδή [pic] για κάθε [pic] και η f είναι συνεχής στο [pic], η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic]. Έτσι έχουμε [pic], για κάθε [pic]. (1) Επειδή [pic] για κάθε [pic] και η f είναι συνεχής στο [pic], η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [pic]. Έτσι έχουμε: [pic], για κάθε [pic]. (2) [pic] [pic] Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: [pic], για κάθε [pic], που σημαίνει ότι το [pic] είναι μέγιστο της f στο [pic] και άρα τοπικό μέγιστο αυτής. ii) Εργαζόμαστε αναλόγως. [pic] [pic] iii) Έστω ότι [pic], για κάθε [pic]. [pic] [pic] Επειδή η f είναι συνεχής στο [pic] θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα [pic] και [pic]. Επομένως, για [pic] ισχύει [pic]. Άρα το [pic] δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic]. Πράγματι, έστω [pic] με [pic]. - Αν [pic], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], θα ισχύει [pic]. - Αν [pic], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], θα ισχύει [pic]. - Τέλος, αν [pic], τότε όπως είδαμε [pic]. Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει [pic], οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic]. Ομοίως, αν [pic] για κάθε [pic]. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic] που είναι ορισμένη στο [symbol]. Η f είναι παραγωγίσιμη στο [symbol], με [pic]. Οι ρίζες της [pic] είναι [pic] (διπλή) ή [pic], το δε πρόσημο της [pic] φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

|x |[pic]| |0 | |3 | |[pic]| | | | | | | | | | |[pic] | |[pic]|0 |[pic]|0 |+ | | | | | | | | | | |

Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [pic], γνησίως αύξουσα στο διάστημα [pic] και παρουσιάζει ένα μόνο τοπικό ακρότατο, συγκεκριμένα ολικό ελάχιστο για [pic], το [pic].

ΣΧΟΛΙΑ - Όπως είδαμε στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος στην πρώτη περίπτωση το [pic] είναι η μέγιστη τιμή της f στο [pic], ενώ στη δεύτερη περίπτωση το [pic] είναι η ελάχιστη τιμή της f στο [pic]. - Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα [pic], όπως γνωρίζουμε (Θεώρημα § 1.8),η f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής: 1. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f. 2. Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων. 3. Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της f. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic], [pic]. Έχουμε [pic], [pic]. Οι ρίζες της [pic] είναι οι [pic], [pic]. Επομένως, τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα [pic], [pic]. Οι τιμές της f στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα του διαστήματος [pic] είναι [pic], [pic], [pic] και [pic]. Άρα, η μέγιστη τιμή της f στο [pic] είναι ίση με 30 και παρουσιάζεται για [pic], ενώ η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 3 και παρουσιάζεται για [pic]. - Για να εφαρμόσουμε το προηγούμενο θεώρημα απαιτείται να προσδιορίσουμε το πρόσημο της [pic] εκατέρωθεν του [pic]. Όταν ο προσδιορισμός αυτός δεν είναι εύκολος ή είναι αδύνατος, τότε το παρακάτω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται, μπορεί να μας πληροφορήσει αν το [pic] είναι θέση τοπικού ακρότατου.

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα [pic] και [pic] ένα σημείο του [pic] στο οποίο η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. - Αν [pic] και [pic], τότε το [pic] είναι τοπικό μέγιστο. - Αν [pic] και [pic], τότε το [pic] είναι τοπικό ελάχιστο.

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης [pic], [pic]. Έχουμε [pic] και [pic], οπότε οι ρίζες της [pic] είναι οι [pic] και [pic]. Για [pic], είναι [pic], ενώ για [pic], είναι [pic]. Έτσι έχουμε α) [pic] και [pic], οπότε το [pic] είναι τοπικό μέγιστο της f. β) [pic] και [pic], οπότε το [pic] είναι τοπικό ελάχιστο της f.