2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού θεωρείται μία από τις σπουδαιότερες προτάσεις της ανάλυσης, αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα το Θ.Μ.Τ. για να αποδείξουμε τα επόμενα δύο βασικά θεωρήματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν - η f είναι συνεχής στο Δ και - [pic] για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε [pic] ισχύει [pic]. Πράγματι - Αν [pic], τότε προφανώς [pic]. - Αν [pic], τότε στο διάστημα [pic] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic]. (1) Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει [pic],οπότε, λόγω της (1), είναι [pic]. Αν [pic], τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι [pic]. Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι [pic].

ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συναρτήσεις [pic] ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν - οι [pic] είναι συνεχείς στο Δ και - [pic] για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε [pic] να ισχύει: [pic] ΑΠΟΔΕΙΞΗ [pic] Η συνάρτηση [pic] είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο [pic] ισχύει [pic]. Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση [pic] είναι σταθερή στο [symbol]. Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε [pic] να ισχύει [pic], οπότε [pic].

ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic]. Παρατηρούμε ότι, αν και [pic] για κάθε [pic], εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο [pic].