ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να αποδειχτεί ότι: i) Η συνάρτηση [pic], [pic], ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [pic]. ii) Η εξίσωση [pic], [pic] έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα [pic]. ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [pic] αφού - είναι συνεχής στο [pic] ως πολυωνυμική - είναι παραγωγίσιμη στο [pic] με [pic] και - ισχύει [pic]. ii) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση [pic], [pic] ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic] ή, ισοδύναμα, [pic]. Επομένως, το [pic] θα είναι ρίζα της εξίσωσης [pic].

2. Να αποδειχτεί ότι για τη συνάρτηση [pic], [pic] και για οποιοδήποτε διάστημα [pic], ο αριθμός [pic], που ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, είναι το κέντρο του διαστήματος [pic], δηλαδή είναι [pic]. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η συνάρτηση [pic] είναι συνεχής στο [pic] ως πολυωνυμική και παραγωγίσιμη στο [pic], με [pic]. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει [pic], τέτοιο, ώστε [pic]. (1) Είναι όμως: [pic] [pic]. Επομένως, η σχέση (1) γράφεται: [pic].

3. Ένα αυτοκίνητο διήνυσε μία διαδρομή 200 χιλιομέτρων σε 2,5 ώρες. Να αποδειχθεί ότι κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 80 χιλιόμετρα την ώρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω [pic], [pic] η συνάρτηση θέσης του κινητού. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει [pic], τέτοια ώστε [pic]. Η συνάρτηση S είναι συνεχής στο [pic] και παραγωγίσιμη στο [pic]. Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic] χιλιόμετρα την ώρα.