ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε μία λίμνη προκαλεί κυκλικό κυματισμό. Μία συσκευή μέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγμή [pic] που η ακτίνα r του κυματισμού είναι 50 cm, ο ρυθμός μεταβολής της r είναι 20 cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε που περικλείεται από το κυκλικό κύμα, τη χρονική στιγμή [pic]. ΛΥΣΗ Επειδή [pic] και η ακτίνα r είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμε [pic], οπότε [pic]. Επομένως, [pic] (cm2/sec).

2. Αν το συνολικό κόστος παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι [pic] και η συνολική είσπραξη από την πώλησή τους είναι [pic], τότε [pic] είναι το συνολικό κέρδος και [pic] είναι το μέσο κόστος. i) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους και ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης είναι ίσοι. ii) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος. ΛΥΣΗ i) Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι [pic]. Επομένως, [pic]. ii) Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι [pic]. Επομένως [pic] [pic] [pic].