ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i) [pic] ii) [pic] iii) [pic]. ΛΥΣΗ i) Αν θέσουμε [pic], τότε η συνάρτηση [pic] γράφεται [pic], οπότε έχουμε [pic] [pic] [pic] [pic]. Ομοίως, έχουμε ii) [pic] (θέσαμε [pic] [pic] [pic] iii) [pic] (θέσαμε [pic]) [pic] [pic]. [pic]

2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε του κύκλου [pic] στο σημείο του [pic]. ΛΥΣΗ Αν λύσουμε την εξίσωση του κύκλου ως προς y, βρίσκουμε ότι [pic], αν [pic] και [pic], αν [pic]. Επομένως, ο κύκλος C αποτελείται από τα σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων [pic] και [pic] οι οποίες είναι ορισμένες στο κλειστό διάστημα [pic] και παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα [pic]. Αν, τώρα, με [pic] συμβολίσουμε εκείνη από τις παραπάνω συναρτήσεις στην οποία ανήκει το [pic], τότε θα ισχύει [pic] (1) και [pic] (2) Έτσι, με παραγώγιση και των δύο μελών της (2), έχουμε [pic] οπότε, για [pic], θα ισχύει [pic]. Έτσι, λόγω της (1) θα έχουμε [pic] οπότε, για [pic], θα είναι [pic]. Άρα, η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση: [pic], η οποία γράφεται διαδοχικά: [pic] [pic] [pic], (3) αφού [pic]. Αν [pic], που συμβαίνει όταν το σημείο [pic] είναι το [pic] ή το [pic], τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι οι εφαπτόμενες της [pic] στα σημεία αυτά είναι οι κατακόρυφες ευθείες [pic] και [pic] αντιστοίχως. Και οι δυο αυτές εξισώσεις δίνονται από τον παραπάνω τύπο (3) για [pic] και [pic] αντιστοίχως. Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης οποιασδήποτε άλλης κωνικής τομής.