Παράγωγος και συνέχεια

[pic] Έστω η συνάρτηση [pic]. Η f είναι συνεχής στο [pic], αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό, αφού [pic], ενώ [pic]. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής σ' ένα σημείο [pic] χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό. Αν, όμως, η f είναι παραγωγίσιμη στο [pic], τότε θα είναι και συνεχής στο [pic], δηλαδή ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο [pic], τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για [pic] έχουμε [pic], οπότε [pic] [pic] [pic], αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο [pic]. Επομένως, [pic], δηλαδή η f είναι συνεχής στο [pic].

ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείο [pic], τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο [pic].