ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής)

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [pic], τότε η f παίρνει στο [pic] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. (Σχ. 69δ) Δηλαδή, υπάρχουν [pic] τέτοια, ώστε, αν [pic] και [pic], να ισχύει [pic], για κάθε [pic].

ΣΧΟΛΙΟ [pic] Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [pic] είναι το κλειστό διάστημα [pic], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της. Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic], [pic] έχει σύνολο τιμών το [pic], αφού είναι συνεχής στο [pic] με [pic] και [pic]. - Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα [pic], τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα [pic] (Σχ. 71α), όπου [pic] και [pic]. Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [pic], τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα [pic] (Σχ. 71β). [pic] [pic] Για παράδειγμα, - Το σύνολο τιμών της [pic], [pic], η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ. 72), είναι το διάστημα [pic], αφού [pic] [pic] [pic] και [pic]. - Το σύνολο τιμών της [pic], [pic], η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση, (Σχ. 73) είναι το διάστημα [pic], αφού [pic] και [pic]. Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [pic], [pic] και [pic].