Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [pic]. Αν: - η f είναι συνεχής στο [pic] και - [pic] τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των [pic] και [pic] υπάρχει ένας, τουλάχιστον [pic] τέτοιος, ώστε [pic]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι [pic]. Τότε θα ισχύει [pic] (Σχ. 67). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση [pic], [pic], παρατηρούμε ότι: [pic] - η g είναι συνεχής στο [pic] και - [pic], αφού [pic] και [pic]. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic], οπότε [pic]. [pic]

ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [pic], τότε, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές. - Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Η εικόνα [pic] ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. [pic] [pic] [pic] [pic] Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [pic], ισχύει το παρακάτω θεώρημα.