Θεώρημα του Bolzano

Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [pic]. Επειδή τα σημεία [pic] και [pic] βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα [pic], η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο. Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρημα του οποίου η απόδειξη παραλείπεται.

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [pic]. Αν: - η f είναι συνεχής στο [pic] και, επιπλέον, ισχύει - [pic], τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, [pic] τέτοιο, ώστε [pic]. Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης [pic] στο ανοικτό διάστημα [pic].

ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: - Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε [pic] ή είναι αρνητική για κάθε [pic], δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. (Σχ. 65) [pic] [pic] - Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. [pic] Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f. β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα. Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης [pic], [pic]. Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της [pic] στο [pic]. Έχουμε [pic] ή [pic]. Έτσι οι ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα [pic], [pic] και[pic]. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα.

|Διάστημα |[pic] |[pic] |[pic] | |Επιλεγμένος |0 |[pic] |[pic] | |αριθμός [pic]| | | | |[pic] |[pic] |1 |[pic] | |Πρόσημο |[pic] |[pic] |[pic] |

Επομένως, στα διαστήματα [pic], [pic] είναι [pic], ενώ στο διάστημα [pic] είναι [pic].