Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις

Από τον ορισμό της συνέχειας στο [pic] και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρακάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο [pic], τότε είναι συνεχείς στο [pic] και οι συναρτήσεις: [pic], [pic], όπου [pic], [pic], [pic], [pic] και [pic] με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το [pic]. Για παράδειγμα: - Οι συναρτήσεις [pic] και [pic] είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων. - Η συνάρτηση [pic] είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της [pic], αφού η συνάρτηση [pic] είναι συνεχής. - Η συνάρτηση [pic] είναι συνεχής, αφού είναι της μορφής [pic], όπου [pic] η οποία είναι συνεχής συνάρτηση ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων [pic] και [pic]. Τέλος, αποδεικνύεται ότι για τη σύνθεση συνεχών συναρτήσεων ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ [pic] Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [pic] και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [pic], τότε η σύνθεσή τους [pic] είναι συνεχής στο [pic]. Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic] είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων [pic] και [pic].