ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Nα βρεθούν τα παρακάτω όρια: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic]. ΛΥΣΗ i) Έχουμε [pic] [pic] [pic]. ii) Επειδή [pic], δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου (ιδιότητα 4). Παρατηρούμε όμως ότι για [pic] μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Οπότε η συνάρτηση [pic], για [pic], γράφεται: [pic]. Επομένως, [pic]. iii) Για [pic] μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με [pic] και έτσι έχουμε: [pic] [pic]. Επομένως, [pic]. 2. Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο [pic] της συνάρτησης [pic]. ΛΥΣΗ Αν [pic], τότε [pic], οπότε [pic]. Αν [pic], τότε [pic], οπότε [pic]. Επομένως [pic]. [pic]

Κριτήριο παρεμβολής Υποθέτουμε ότι "κοντά στο [pic]" μια συνάρτηση f "εγκλωβίζεται" (Σχ. 50) ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το x τείνει στο [pic], οι g και h έχουν κοινό όριο [pic], τότε, όπως φαίνεται και στο σχήμα, η f θα έχει το ίδιο όριο [pic]. Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής.

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συναρτήσεις [pic]. Αν - [pic] κοντά στο [pic] και - [pic], τότε [pic]. Για παράδειγμα, [pic]. Πράγματι, για [pic] έχουμε [pic], οπότε [pic]. Επειδή [pic], σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε: [pic].

Τριγωνομετρικά όρια Το κριτήριο παρεμβολής είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό ορισμένων τριγωνομετρικών ορίων. Αρχικά αποδεικνύουμε ότι:

|[pic], για κάθε [pic] | |(η ισότητα ισχύει μόνο όταν | |[pic]) | [pic]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ - Για [pic]προφανώς ισχύει η ισότητα. - Για [pic] από το διπλανό σχήμα έχουμε [pic]. Άρα [pic], για κάθε [pic] (1) - Για [pic] είναι [pic], οπότε λόγω της (1) έχουμε, [pic] ή, ισοδύναμα, [pic]. - Για [pic] είναι [pic], οπότε [pic]. Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει [pic], με την ισότητα να ισχύει μόνο για [pic]. Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας και του κριτηρίου παρεμβολής θα αποδείξουμε ότι:

1. | ( [pic] | | ( [pic] |

ΑΠΟΔΕΙΞΗ - Αρχικά θα αποδείξουμε ότι [pic] και [pic] (1) Πράγματι: - Σύμφωνα με την προηγούμενη ανισότητα έχουμε [pic], οπότε [pic]. Επειδή [pic], σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, θα είναι [pic]. - Γνωρίζουμε ότι [pic], οπότε [pic], για κάθε [pic]. Επομένως [pic]. - Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι [pic]. Πράγματι. έχουμε [pic] [pic] [pic]. - Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι [pic].

2. | ( α) [pic] | |( β) [pic] |

ΑΠΟΔΕΙΞΗ [pic] - Αν [pic], τότε από το διπλανό σχήμα προκύπτει ότι [pic], οπότε έχουμε διαδοχικά: [pic] [pic] x [pic]. [pic] [pic]. - Αν [pic], τότε [pic], οπότε έχουμε [pic] και άρα [pic]. Επομένως, για κάθε [pic] ισχύει [pic]. Επειδή [pic], από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι [pic]. [pic] β) Έχουμε [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic].

Όριο σύνθετης συνάρτησης Με τις ιδιότητες που αναφέρουμε μέχρι τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε τα όρια απλών συναρτήσεων. Αν, όμως, θέλουμε να υπολογίσουμε το [pic], της σύνθετης συνάρτησης [pic] στο σημείο [pic], τότε εργαζόμαστε ως εξής: 1. Θέτουμε [pic]. 2. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το [pic] και 3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το [pic]. Αποδεικνύεται ότι, αν [pic] κοντά στο [pic], τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με [pic], δηλαδή ισχύει: [pic].

ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής [pic] με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: "[pic] κοντά στο [pic]" και γι’ αυτό δεν θα ελέγχεται. Για παράδειγμα: α) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο [pic]. Αν θέσουμε [pic], τότε [pic], οπότε [pic]. β) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο [pic]. Είναι [pic]. Έτσι, αν θέσουμε [pic], τότε [pic], οπότε [pic].