Πολυωνυμικές Εξισώσεις με Πραγματικούς Συντελεστές

Όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, κάθε πολυωνυμική εξίσωση [pic], νιοστού βαθμού, δηλαδή κάθε εξίσωση της μορφής [pic], έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ν ακριβώς ρίζες. Αν [pic] είναι οι ρίζες του πολυωνύμου [pic] (οι οποίες δεν είναι κατ’ ανάγκη διαφορετικές), τότε αποδεικνύεται ότι το πολυώνυμο αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων ως εξής: [pic] Επομένως, η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων στο [symbol] γίνεται με τις ίδιες μεθόδους που χρησιμοποιούνται και στο σύνολο [symbol] των πραγματικών αριθμών. Στη συνέχεια θα περιοριστούμε σε πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούς μόνο συντελεστές. Έχουμε ήδη λύσει τη δευτεροβάθμια εξίσωση, η οποία, όπως είδαμε, έχει δύο ρίζες, οι οποίες, αν δεν είναι πραγματικές, είναι μιγαδικές συζυγείς. Ας λύσουμε τώρα μία ανωτέρου βαθμού, για παράδειγμα την [pic], που είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού. Με σχήμα Horner έχουμε: [pic] ή [pic]. Όμως, [pic] ή [pic]. Άρα, οι ρίζες της εξίσωσης είναι [pic], [pic] και 1. Και στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης είναι συζυγείς. Το συμπέρασμα αυτό γενικεύεται για οποιαδήποτε πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές.

ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Αν ο μιγαδικός αριθμός [pic] είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές, τότε και ο συζυγής του [pic] είναι ρίζα της εξίσωσης αυτής.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Μια πολυωνυμική εξίσωση, όπως γνωρίζουμε, έχει τη μορφή: [pic], όπου [pic](( με [pic]. Αφού ο αριθμός [pic] είναι ρίζα της εξίσωσης, έχουμε κατά σειρά: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic], αφού [pic]. Άρα, ο [pic] είναι και αυτός ρίζα της εξίσωσης.