Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Η Εξίσωση [pic], [pic]

Έστω [pic] μια τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού a. Τότε από τον τύπο του de Moivre έχουμε: [pic]. Αν θέσουμε [pic], τότε η εξίσωση [pic] γράφεται [pic] ή, ισοδύναμα, [pic] Επομένως, το [pic] μπορεί να πάρει τις [pic] διαφορετικές τιμές [pic], όπου [pic], οπότε οι λύσεις της εξίσωσης [pic] είναι οι αριθμοί [pic] [pic]. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση [pic], όπου ν θετικός ακέραιος και [pic], [pic], έχει [pic] διαφορετικές λύσεις οι οποίες δίνονται από τον τύπο: [pic]. Οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης [pic] στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές κανονικού πολυγώνου με [pic] πλευρές, εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο [pic] και ακτίνα [pic], όπου [pic]. Έστω για παράδειγμα η εξίσωση [pic]. (1) Επειδή [pic], οι λύσεις [pic] της εξίσωσης (1) δίδονται από τον τύπο [pic] [pic] Πιο συγκεκριμένα οι λύσεις είναι: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]. Οι λύσεις αυτές είναι κορυφές κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας [pic].