Η Εξίσωση [pic]

Γνωρίζουμε ότι στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση [pic] έχει μια λύση, την [pic], αν ο [pic] είναι περιττός και δύο λύσεις, τις [pic] και [pic], αν ο [pic] είναι άρτιος. Ας λύσουμε τώρα στο σύνολο ( των μιγαδικών αριθμών μερικές εξισώσεις της μορφής [pic], όπου [pic] θετικός ακέραιος. Έχουμε: - [pic] [pic] ή [pic] [pic] ή [pic] ή [pic], δηλαδή η εξίσωση έχει στο [symbol] τρεις ρίζες. - [pic] [pic] ή [pic] [pic] ή [pic] ή [pic] ή [pic], δηλαδή η εξίσωση έχει στο σύνολο [symbol] τέσσερις λύσεις. Γενικά ισχύει το επόμενο θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση [pic], όπου ν θετικός ακέραιος, έχει [pic] ακριβώς διαφορετικές λύσεις, οι οποίες δίνονται από τον τύπο: [pic].

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω [pic] μια λύση, σε τριγωνομετρική μορφή, της εξίσωσης [pic]. Τότε, [pic], οπότε [pic] Άρα, [pic] και [pic], για κάποιο [pic], οπότε [pic] και [pic]. Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης [pic], θα είναι της μορφής [pic], [pic]. (1) Αλλά και αντιστρόφως, κάθε μιγαδικός της μορφής [pic], [pic] είναι λύση της εξίσωσης [pic], αφού [pic]. Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης [pic] είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής [pic], [pic]. (1) Για [pic] έχουμε την προφανή λύση [pic]. Αν θέσουμε [pic], τότε για τις ρίζες της [pic], θα ισχύει: [pic], [pic].

Είναι λοιπόν: [pic] κ.τ.λ. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι οι λύσεις της [pic] που δίνονται από την (1) δεν είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους. Θα εξετάσουμε για ποιες τιμές του [pic] έχουμε διαφορετικές λύσεις. Επειδή για κάθε [pic] υπάρχουν ακέραιοι [pic] και [pic] τέτοιοι, ώστε να ισχύει [pic] με [pic], έχουμε: [pic]. Δηλαδή, για κάθε [pic] η λύση [pic] ταυτίζεται με μια από τις [pic]. Θα δείξουμε τώρα ότι οι λύσεις [pic] είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Έστω ότι δε συμβαίνει αυτό. Τότε θα υπάρχουν φυσικοί [pic] με [pic], τέτοιοι, ώστε [pic], οπότε θα έχουμε διαδοχικά: [pic] [pic], για κάποιο [pic] [pic], για κάποιο [pic]. Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι ο ακέραιος [pic] διαιρεί τη διαφορά [pic]. Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού [pic]. Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης [pic] είναι οι ν διαφορετικοί αριθμοί [pic], όπου [pic]. [pic] Οι λύσεις αυτές λέγονται και νιοστές ρίζες της μονάδας.

ΣΧΟΛΙΟ Οι εικόνες [pic] των λύσεων [pic] της εξίσωσης [pic] είναι κορυφές κανονικού πολυγώνου με [pic] πλευρές, εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο [pic] και ακτίνα [pic]. Πιο συγκεκριμένα: - Η κορυφή [pic] παριστάνει τη λύση 1. - Η επόμενη κορυφή [pic] παριστάνει τη λύση [pic]. - Η κορυφή [pic] παριστάνει την [pic] και προκύπτει από την [pic] με στροφή του διανύσματος [pic] κατά γωνία [pic], δηλαδή κατά γωνία ίση με την κεντρική γωνία του κανονικού ν-γωνου. - H κορυφή [pic] παριστάνει την [pic] και προκύπτει από την [pic] με στροφή του διανύσματος [pic] κατά γωνία [pic] κτλ.