Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Επίλυση [pic] γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο του Cramer

Όπως είδαμε στα προηγούμενα, ένα γραμμικό [pic] σύστημα μπορεί να έχει μοναδική λύση ή άπειρο πλήθος λύσεων ή να είναι αδύνατο. Στην ειδική περίπτωση που το σύστημα είναι [pic], το επόμενο θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται, μας πληροφορεί πότε το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση και πότε έχει άπειρο πλήθος λύσεων ή είναι αδύνατο.

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω το [pic] γραμμικό σύστημα [pic]. - Αν [pic], τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την [pic] με [pic] όπου D είναι η ορίζουσα [pic] των συντελεστών των αγνώστων και [pic], [pic] είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D αν αντικαταστήσουμε την [pic]στήλη των συντελεστών του αγνώστου [pic] με τη στήλη των σταθερών όρων. - Αν [pic], τότε το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Από το θεώρημα αυτό προκύπτει ότι:

ΠΟΡΙΣΜΑ Το ομογενές σύστημα [pic], - έχει μόνο τη μηδενική λύση, αν και μόνο αν [pic]. - έχει και μη μηδενικές λύσεις (άπειρο πλήθος), αν και μόνο αν [pic].

ΣΧΟΛΙΑ 1) Ένα [pic] γραμμικό σύστημα [pic] με [pic], λέγεται και σύστημα Cramer, η δε επίλυση του συστήματος αυτού αναφέρεται και ως κανόνας του Cramer. Ο κανόνας του Cramer δεν είναι αποδοτική μέθοδος για να χρησιμοποιηθεί στη λύση συστημάτων με ένα μεγάλο αριθμό εξισώσεων, γιατί πρέπει να υπολογιστούν πολλές ορίζουσες μεγάλης τάξης. Γι’ αυτό στη συνέχεια με τον κανόνα αυτόν θα επιλύουμε μόνο [pic] και [pic] γραμμικά συστήματα. Ως προς τους αριθμητικούς υπολογισμούς η μέθοδος επίλυσης συστήματος με τον αλγόριθμο του Gauss υπερτερεί του κανόνα του Cramer. Όμως, ο κανόνας του Cramer είναι ιδιαίτερα χρήσιμος σε θεωρητικά ζητήματα. 2) Για την επίλυση ενός [pic] γραμμικού συστήματος [pic] με [pic] εργαζόμαστε συνήθως με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss. 3) Αν ένα [pic] γραμμικό σύστημα είναι ομογενές, τότε [pic] [pic], αφού όλες οι ορίζουσες έχουν μια μηδενική στήλη.