ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Έστω Τ ο μετασχηματισμός "στροφή με κέντρο Ο και γωνία [pic]". Να βρεθεί η εικόνα [pic]της καμπύλης[pic] ως προς το μετασχηματισμό Τ. ΛΥΣΗ Έστω [pic] ένα σημείο του επιπέδου και [pic] η εικόνα του ως προς το μετασχηματισμό Τ. Τότε θα ισχύει [pic] [pic][pic] [pic]. (1) Επομένως, αν το [pic] ανήκει στην καμπύλη C, τότε θα ισχύει: [pic] [pic] [pic] [pic], οπότε το σημείο [pic] θα είναι σημείο της ισοσκελούς υπερβολής [pic]. Αλλά και αντιστρόφως, αν το [pic] ανήκει στην καμπύλη [pic], τότε το [pic] θα ανήκει στην C. Άρα, η εικόνα της [pic], ως προς τη στροφή με κέντρο Ο και γωνία [pic], είναι η υπερβολή [pic]. Συνεπώς, η καμπύλη [pic] είναι μια υπερβολή που προκύπτει αν στρέψουμε την [pic] κατά γωνία [pic].

2. Έστω [pic] και [pic] οι γραμμικοί μετασχηματισμοί με πίνακες [pic] και [pic] αντιστοίχως. Να βρεθεί ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε πρώτα τον [pic] και έπειτα τον [pic], δηλαδή του μετασχηματισμού [pic]. ΛΥΣΗ Έστω [pic] ένα σημείο του επιπέδου. Αν [pic] είναι η εικόνα του Μ μέσω του μετασχηματισμού [pic] και [pic] η εικόνα του [pic] μέσω του μετασχηματισμού [pic], τότε θα ισχύει [pic] και [pic], οπότε θα έχουμε [pic][pic]. Άρα, ο πίνακας του [pic] είναι ο [pic] που είναι το γινόμενο [pic] των πινάκων των μετασχηματισμών [pic] και [pic]. Γενικά: "Αν [pic] είναι πίνακες δύο γραμμικών μετασχηματισμών, [pic] και [pic] αντιστοίχως, τότε ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού [pic] είναι ο [pic], ενώ του [pic] είναι ο [pic]".