ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός [pic] i) Να βρεθούν οι εικόνες [pic] και [pic] των σημείων [pic] και [pic] αντιστοίχως. ii) Να αποδειχτεί ότι [pic]. ΛΥΣΗ i) Έχουμε [pic]. Επομένως, οι εικόνες των [pic] και [pic] είναι τα σημεία [pic] και [pic] αντιστοίχως. ii) Είναι [pic]. Παρατηρούμε ότι ο μετασχηματισμός αυτός διατηρεί τις αποστάσεις. Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί που διατηρούν τις αποστάσεις λέγονται ισομετρίες.

2. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός: [pic] Nα βρεθεί: i) Το πρότυπο του σημείου [pic], δηλαδή το σημείο [pic] που απεικονίζεται στο [pic]. ii) Η εικόνα της ευθείας [pic]. ΛΥΣΗ i) Ισχύει [pic]. Επειδή ο πίνακας [pic] είναι αντιστρέψιμος, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον αντίστροφό του, που είναι ο πίνακας [pic] και έχουμε διαδοχικά: [pic] [pic] [pic]. Άρα το σημείο Α έχει συντεταγμένες [pic]. ii) Αρκεί να βρούμε την εξίσωση η οποία επαληθεύεται από τις συντεταγμένες των εικόνων των σημείων της ευθείας ε και μόνο απΆ αυτές. Πράγματι, έχουμε: [pic] [pic] [pic] [pic]. (1) [pic] Επομένως, αν το σημείο [pic]ανήκει στην ε, τότε θα ισχύει: [pic] [pic] [pic] [pic] Άρα, το σημείο [pic] ανήκει στην ευθεία [pic]. Αλλά και αντιστρόφως, αν το σημείο [pic] ανήκει στην ευθεία [pic], τότε το [pic] ανήκει στην ευθεία [pic]. Συνεπώς, η εικόνα της ευθείας [pic] είναι η ευθεία [pic].

ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι κάθε γραμμικός μετασχηματισμός, του οποίου ο πίνακας αντιστρέφεται, απεικονίζει: - ευθείες σε ευθείες - ευθύγραμμα τμήματα σε ευθύγραμμα τμήματα με άκρα τις εικόνες των άκρων - πολύγωνα σε πολύγωνα με κορυφές τις εικόνες των κορυφών. Για παράδειγμα, με το μετασχηματισμό [pic] το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές [pic], [pic] και [pic] απεικονίζεται στο τρίγωνο [pic] που έχει ως κορυφές τις εικόνες [pic], [pic] και [pic] των κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ. Είναι βολικό, πολλές φορές, ένα πολύγωνο [pic] να το παριστάνουμε με τον πίνακα [pic], [pic] που έχει ως στήλες τις συντεταγμένες των κορυφών του. Τον πίνακα αυτόν θα τον λέμε πίνακα του πολυγώνου. Έτσι, ο πίνακας του ΑΒΓ είναι ο [pic], ενώ του [pic] ο [pic]. Είναι φανερό ότι [pic] [pic] [pic] Α Β Γ [pic] . Άρα ο πίνακας του τριγώνου [pic] προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού με τον πίνακα του τριγώνου ΑΒΓ. Αυτό ισχύει και για οποιοδήποτε πολύγωνο.