6.5 Διατηρήσιμη ποσότητα στην περιστροφή

Ο όρος "διατηρήσιμη ποσότητα" αναφέρεται σε κάθε μέγεθος που μπορεί να διατηρείται σταθερό κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις. Στη μελέτη της περιστροφής στερεού δεν έχουμε ακόμα αναφερθεί σε μέγεθος συνδυαστικό, το οποίο να αποτελεί, δηλαδή, συνδυασμό ενός αδρανειακού και ενός κινηματικού μεγέθους, όπως είναι η ορμή (P= mυ) στη μεταφορική κίνηση.

Στην περιστροφική κίνηση το αντίστοιχο μέγεθος, ας το πούμε Χ προς το παρόν, πρέπει να ισούται με: Χ = Ιω, αφού τώρα το χαρακτηριστικό κινηματικό μέγεθος είναι η γωνιακή ταχύτητα ω και η αδράνεια εκφράζεται με τη ροπή αδράνειας Ι. Η παράλληλη λογική φαίνεται στην εικόνα 6.15.

Εικόνα 6.15: Στροφορμή υλικού σημείου

Το σωματίδιο μάζας m έχει ταχύτητα υ και περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω σε κύκλο ακτίνας r. Η ορμή του Ρ = mυ δεν αρκεί για να περιγράψουμε την κίνηση, επειδή το αποτέλεσμα επηρεάζεται και από την ακτίνα περιφοράς του σωματιδίου. Δημιουργούμε νέο μέγεθος, τη στροφορμή L, η οποία εκφράζεται από τη σχέση: L = mυr (6.20)

Η στροφορμή έχει τα εξής χαρακτηριστικά: • Είναι διανυσματικό μέγεθος κάθετο στο επίπεδο στο οποίο ανήκουν η ορμή mυ και το διάνυσμα θέσης r. Η φορά της καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού (εικόνα 6.16). Τα 4 δάκτυλα δείχνουν τη φορά περιστροφής και ο αντίχειρας τη στροφορμή. (Παρατηρήστε την αναλογία των εικόνων 6.1(β) και 6.16 και βγάλτε συμπεράσματα…)

Εικόνα 6.16: Για τον προσδιορισμό του διανύσματος της στροφορμής

• Μονάδα της L στο S.I. είναι το [pic]. • Με την αντικατάσταση: υ = ωr, η L γράφεται: [pic] ή [pic] (6.21) και ικανοποιεί τη σύνδεση κινηματικού (ω) με αδρανειακό μέγεθος (Ι).

Μπορούμε να εκφράσουμε και στην περιστροφή το 2ο νόμο του Νεύτωνα με σχέση αντίστοιχη της: [pic], την οποία μελετήσαμε στο κεφάλαιο 4. Είναι η σχέση ανάμεσα στη ροπή Μ δύναμης και τη στροφορμή: ή [pic] (6.22) ή [pic] (6.23)

Η σχέση (6.22) ή (6.23) αποτελείτο θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για τη στροφική κίνηση.

Το προνόμιο της μεγάλης ροπής αδράνειας: Αν δοκιμάσουμε ίδια ροπή Μ σε διάφορα στερεά, εκείνο που έχει μεγάλη ροπή αδράνειας Ι θα αντιστοιχεί σε μικρό ρυθμό [pic] μεταβολής της γωνιακής ταχύτητάς του.

Αν, πάλι, επιδιώκουμε ίδιο ρυθμό μεταβολής της ω, η μεγάλη ροπή αδράνειας αντιστοιχεί σε μεγάλη ροπή. Διατάξεις με μεγάλη ροπή αδράνειας, λοιπόν, έχουν την ικανότητα να κρατάνε σχεδόν σταθερή τη γωνιακή τους ταχύτητα. Σε ένα κινητήρα, π.χ., ακόμα και αν η ροπή που την παράγει αυξομειώνεται ελαφρά, οι "στροφές" παραμένουν ίδιες.

Εικόνα 6.17: Σφόνδυλος μηχανών

Μια τέτοια διάταξη είναι ο σφόνδυλος των μηχανών (εικόνα 6.17). Είναι ένας μεγάλος τροχός, του οποίου όλη η μάζα είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρεια. Αυτό βοηθά να έχουν όλα τα σημεία του την ίδια και μάλιστα μεγάλη ροπή αδράνειας. Είναι το σχήμα του στερεού, του οποίου η σχέση της ροπής αδράνειας έχει αριθμητικό συντελεστή 1 (Ι = mR2). Σφονδύλους βρίσκουμε σε πολλές μηχανές και διατάξεις σε ποικίλα μεγέθη, και ο ρόλος τους είναι σημαντικός. Κάθε τροχός και στεφάνι συμπεριφέρεται ως σφόνδυλος. Ακόμα και μικροδιατάξεις, όπως το ρολόι π.χ. (εικόνα 6.18), διαθέτουν σφόνδυλο.

Εικόνα 6.18: Ο σφόνδυλος μέσα στο ρολόι μας

Εδώ ο σφόνδυλος κρατά σταθερή τη γωνιακή ταχύτητα (άρα και τη συχνότητα) ταλάντωσης του και του ελατήριου ("τρίχα" ρολογιού) που τον συνοδεύει.

Προτροπή: Ας προσπαθήσουμε να αναγνωρίσουμε και άλλους σφονδύλους σε μηχανές ή διατάξεις που συναντάμε στην καθημερινή ζωή μας…

Διατήρηση στροφορμής: το τρίτο βασικό στήριγμα των φυσικών εξελίξεων

Έως τώρα ασχοληθήκαμε με δυο αρχές διατήρησης: της μηχανικής ενέργειας και της ορμής. Τα φυσικά φαινόμενα διέπονται και από μια τρίτη αρχή. Ας δούμε λίγο τη σχέση (6.22). Από τη σχέση προκύπτει ότι:

"Σε κάθε σώμα η σύστημα το οποίο δε δέχεται συνολικά ροπή, η στροφορμή του παραμένει σταθερή διανυσματικά".

Η παραπάνω διατύπωση αποτελεί την αρχή διατήρησης της στροφορμής, που μαζί με τις δυο προηγούμενες δημιουργούν το σύνολο των αρχών πάνω στις οποίες στηρίζεται η φυσική έρευνα.

Ροπή ίση με μηδέν έχουμε σε δυο περιπτώσεις: • Όταν δεν εμφανίζεται κάποια εξωτερική ροπή στο σύστημα, και • Όταν οι εξωτερικές για το σύστημα ροπές έχουν συνισταμένη ίση με μηδέν. Η πρώτη περίπτωση αντιστοιχεί σε αυτό που ονομάζουμε μονωμένο η κλειστό σύστημα. Είναι κάθε σύστημα σωμάτων (μπορεί να είναι και μόνο του κάποιο σώμα), στο οποίο δεν επενεργούν εξωτερικές ροπές και στο οποίο οι όποιες τριβές (που συνήθως δε λείπουν) θεωρούνται αμελητέες για την περιστροφή.

Η διατήρηση της στροφορμής γράφεται: L1 = L2. Άρα: [pic] (6.24)

Η σχέση (6.24) δείχνει ότι το γινόμενο Ι.ω διατηρείται σταθερό. Αυτό σημαίνει ότι τα μεγέθη Ι, ω "δουλεύουν" το ένα σε βάρος του άλλου. Όσο μεγαλώνει δηλαδή η ροπή αδράνειας Ι, μικραίνει η γωνιακή ταχύτητα ω, και αντίστροφα. Ο άνδρας, π.χ. της εικόνας 6.19 περιστρέφεται κρατώντας σε οριζόντια τεντωμένα χέρια δυο βάρη. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του είναι ω1. Όταν μαζεύει τα χέρια του, η γωνιακή ταχύτητα ω2 γίνεται μεγαλύτερη. Βασιστείτε στη σχέση (6.24), για να εξηγήσετε το φαινόμενο.

Ας σκεφτούμε δυο ακόμα ενδεικτικά παραδείγματα…

Εικόνα 6.19: Για την επιβεβαίωση της διατήρησης της στροφορμής

α) Οι παγοδρόμοι περιστρέφονται σε παγωμένη πίστα με κάποια γωνιακή ταχύτητα. Κάποια στιγμή συσπειρώνονται και η περιστροφή γίνεται γρηγορότερη.

β) Καθόμαστε σε περιστρεφόμενη πολυθρόνα και κρατάμε μία σφαίρα σε κάθε τεντωμένο οριζόντια χέρι μας. Μαζεύουμε απότομα τις σφαίρες στο στήθος και η περιστροφή γίνεται πιο γρήγορη. Ο ίλιγγος παραμονεύει…

γ) Ισχυρίζονται πολλοί ότι μπορούν να διακρίνουν το βρασμένο από το άβραστο αβγό περιστρέφοντας το πάνω σε τραπέζι. Εξηγήστε…